Berikut ini adalah pertanyaan dari harytan pada mata pelajaran Ekonomi untuk jenjang Sekolah Menengah Atas
Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2.
Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan:
a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;
b. Tentukan U optimum;
c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
Jawaban dan Penjelasan
Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.
Jawaban:
U = Q₁² + 2Q₂² + 5Q₁Q₂
Fungsi Kendala: g : 5Q₁ + 10Q₂ = 90
a. Jumlah Q₁ dan Q₂ yang memaksimumkan utilitas
Fungsi Lagrange:
L = Q₁² + 2Q₂² + 5Q₁Q₂ + λ (90 - 5Q₁ - 10Q₂)
ΔL / ΔQ₁ = 2Q₁ + 5Q₂ - 5λ = 0
ΔL / ΔQ₂ = 4Q₂ + 5Q₁ - 10λ = 0
ΔL / Δλ = 90 - 5Q₁ - 10Q₂ = 0
2Q₁ + 5Q₂ - 5λ = 0
(2Q₁ + 5Q₂) / 5 = λ ..........Persamaan 1
4Q₂ + 5Q₁ - 10λ = 0
(4Q₂ + 5Q₁) / 10 = λ ..........Persamaan 2
Gabungkan persamaan 1 dan 2
λ = λ
(2Q₁ + 5Q₂) / 5 = (4Q₂ + 5Q₁) / 10
20Q₁ + 50Q₂ = 20Q₂ + 25Q₁
50Q₂ - 20Q₂ = 25Q₁ - 20Q₁
30Q₂ = 5Q₁
Q₁ = 6Q₂
90 - 5Q₁ - 10Q₂ = 0
90 - 5 (6Q₂) - 10Q₂ = 0
90 - 30Q₂ - 10Q₂ = 0
90 = 40Q₂
Q₂ = 9/4
Q₁ = 6Q₂
Q₁ = 6 (9/4)
Q₁ = 27/2
b. Tingkat U optimum
U = Q₁² + 2Q₂² + 5Q₁Q₂
U = (27/2)² + 2 (9/4)² + 5 (27/2) (9/4)
U = 344.25
c. Buktikan bahwa U optimum
Menggunakan Bordered Hessian Matrix:
g₁ = Δg/ΔQ₁ = 5
g₂ = Δg/ΔQ₂ = 10
L₁₂ = L₂₁ = Δ(ΔL/ΔQ₁) / ΔQ₂ = 5
L₁₁ = Δ(ΔL/ΔQ₁) / ΔQ₁ = 2
L₂₂ = Δ(ΔL/ΔQ₂) / ΔQ₂ = 4
Bordered Hessian:
| 0 g₁ g₂ |
| g₁ L₁₁ L₁₂ |
| g₂ L₂₁ L₂₂ |
| 0 5 10 |
| 5 2 5 |
| 10 5 4 |
determinant dari bordered hessian matrix = -5 (5x4 - 10 x 5) + 10 (5 x 5 - 10 x 2)
= -5 (20 - 50) + 10 (25 - 20)
= -5 (-30) + 10 (5)
= 150 + 50
= 200 > 0 (Maksimum)
Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh 6ilbert dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.
Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact
Last Update: Tue, 01 Aug 23