1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan a + b jika [tex]\displaystyle \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan a + b jika \displaystyle \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{15}=\frac{a+b\sqrt{5}}{2}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai a + b = 1974.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui

\begin{aligned}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{15}=\frac{a+b\sqrt{5}}{2}\end{aligned}

Ditanyakan
a + b = ...?

Penyelesaian

\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
merupakan nilai golden ratio, yang dilambangkan dengan φ, yang memenuhi persamaan:
1 + 1/φ = φ  ⇒  1/φ = φ – 1,
dan oleh karena itu pula memenuhi persamaan kuadrat φ² = φ + 1 sebagai akar positifnya.

Maka:

\begin{aligned}\varphi^{15}&=\frac{1}{\varphi}\cdot\varphi^{16}\quad...(1)\end{aligned}

\begin{aligned}\varphi^{16}&=\left(\varphi^2\right)^8\\&=\left(\varphi+1\right)^8\\&=\left(\left(\varphi+1\right)^2\right)^4\\&=\left(\varphi^2+2\varphi+1\right)^4\\&=\left(\varphi+1+2\varphi+1\right)^4\\&=\left(3\varphi+2\right)^4\\&=\left(\left(3\varphi+2\right)^2\right)^2\\&=\left(9\varphi^2+12\varphi+4\right)^2\\&=\left(9(\varphi+1)+12\varphi+4\right)^2\end{aligned}
\begin{aligned}&=\left(21\varphi+13\right)^2\\&=441\varphi^2+546\varphi+169\\&=441(\varphi+1)+546\varphi+169\\\varphi^{16}&=987\varphi+610\quad...(2)\\\end{aligned}

Substitusi persamaan (2) ke dalam (1).

\begin{aligned}\varphi^{15}&=\frac{1}{\varphi}\cdot\varphi^{16}\\&=\frac{1}{\varphi}(987\varphi+610)\\&=987+610\left(\frac{1}{\varphi}\right)\\&=987+610(\varphi-1)\\&=987+610\varphi-610\\&=377+610\varphi\\&=377+610\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\&=\frac{754+610+610\sqrt{5}}{2}\\&=\frac{\overbrace{\vphantom{\big|}{\bf1364}}^a\:+\:\overbrace{\vphantom{\big|}{\bf610}}^{b}\sqrt{5}}{2}\\\end{aligned}

∴ Dengan demikian, nilai a + b = 1364 + 610 = 1974.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 12 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>