1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong jawab ya lagi butuh jawabannya!! Pertanyaan : Misalkan suatu deret geometri,

Berikut ini adalah pertanyaan dari omsed91203 pada mata pelajaran SBMPTN untuk jenjang Sekolah Dasar

Tolong jawab ya lagi butuh jawabannya!!Pertanyaan :
Misalkan suatu deret geometri, S = 2 + \sqrt{\frac{4c^2-24}{5c}}+\frac{2c^2-12}{5c}+...... bila S ∈ R maka nilai c yang memenuhi adalah ?
a. c < -1 atau √6 < c < 6
b. -1 < c < √6
c. -√6 < c < - 1 atau 0 < c < 6
d. 0 < c < 6
e. √6 < c < -1 atau √6 < o < 6

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Misalkan suatu deret geometri
\begin{aligned}S=2+\sqrt{\frac{4c^2-24}{5c}}+\frac{2c^2-12}{5c}+{\dots}\end{aligned}

Apabila S\in\mathbb{R}, maka nilai c yang memenuhi adalah:
\boxed{\large\text{$\begin{aligned}\bf{-}\sqrt{6} < c < -1\ \:{\sf atau}\ \:\sqrt{6} < c < 6\end{aligned}$}}
 

Pembahasan

Deret geometri tersebut dapat dinyatakan juga dengan:

\begin{aligned}S&=2+\sqrt{\frac{4\left(c^2-6\right)}{5c}}+\frac{2\left(c^2-6\right)}{5c}+{\dots}\\\Rightarrow S&=2+2\sqrt{\frac{c^2-6}{5c}}+2\left(\sqrt{\frac{c^2-6}{5c}}\right)^2+{\dots}\\\end{aligned}

Sehingga, jelas bahwa pada deret geometri tersebut,

\begin{aligned}a=U_1=2\,,\ \ r=\sqrt{\frac{c^2-6}{5c}}\end{aligned}

Agar S\in\mathbb{R}, dan terbatas (syarat implisit), syaratnya adalah S konvergen, sehingga rharus berada dalam rentang-1 < r < 1denganr\in\mathbb{R}. Perlu diperhatikan pula bahwa agar S merupakan sebuah deret, deret S memuat suku-suku tak-nol, sehingga r \ne 0.

Agar r\in\mathbb{R}danr \ne 0:

\begin{aligned}&\frac{c^2-6}{5c}\ > \ 0\quad\Big\}\textsf{ faktorkan}\\&\Rightarrow \frac{\left(c+\sqrt{6}\right)\left(c-\sqrt{6}\right)}{5c}\ > \ 0\,,\ c\ne 0\\&\Rightarrow \frac{\left(c+\sqrt{6}\right)\left(c-\sqrt{6}\right)}{5c}\cdot5\ > \ 0\cdot5\,,\ c\ne 0\\&\Rightarrow \frac{\left(c+\sqrt{6}\right)\left(c-\sqrt{6}\right)}{c}\ > \ 0\,,\ c\ne 0\end{aligned}
\begin{aligned}&\Rightarrow\left[\ \begin{aligned}\bullet\ &c < -\sqrt{6}:\\&\Rightarrow\frac{(-)(-)}{(-)} < 0\\&\Rightarrow \textsf{tidak memenuhi}\\\bullet\ &{-}\sqrt{6} < c < 0:\\&\Rightarrow\frac{(+)(-)}{(-)} > 0\\&\Rightarrow \textsf{memenuhi}\\\bullet\ &0 < c < \sqrt{6}:\\&\Rightarrow\frac{(+)(-)}{(+)} < 0\\&\Rightarrow \textsf{tidak memenuhi}\\\bullet\ &c > \sqrt{6}:\\&\Rightarrow\frac{(+)(+)}{(+)} > 0\\&\Rightarrow \textsf{memenuhi}\\\end{aligned}\right.\end{aligned}

\begin{aligned}&\therefore\ \sf Rentang\ yang\ memenuhi:\\&\qquad{-}\sqrt{6} < c < 0\ {\sf atau}\ c > \sqrt{6}\\&\qquad\Rightarrow\ \big({-}\sqrt{6},\ 0\big)\cup\big(\sqrt{6},\ \infty\big)\quad...(i)\end{aligned}

Kemudian, -1 < r < 1 berarti:

\begin{aligned}&{-}1 < \sqrt{\frac{c^2-6}{5c}} < 1\\&\Rightarrow -1 < \sqrt{\frac{c^2-6}{5c}}\ \;{\sf dan}\ \;\sqrt{\frac{c^2-6}{5c}} < 1\end{aligned}

Karena r=\sqrt{\dfrac{c^2-6}{5c}} > 0, maka -1 < \sqrt{\dfrac{c^2-6}{5c}}benar dan berlaku untuk semuac \in \mathbb{R}.

Lalu,

\begin{aligned}&\sqrt{\frac{c^2-6}{5c}} < 1\\&\Rightarrow\frac{c^2-6}{5c} < 1\ \ {\sf dan}\ \ \frac{c^2-6}{5c}\ \ge\ 0\\&\Rightarrow\frac{c^2-6}{5c} - 1 < 0\\&\Rightarrow\frac{c^2-6-5c}{5c} < 0 \\&\Rightarrow\frac{c^2-6-5c}{5c}\cdot5 < 0\cdot5 \\&\Rightarrow\frac{c^2-6-5c}{c} < 0 \\&\Rightarrow\frac{(c+1)(c-6)}{c} < 0\end{aligned}
\begin{aligned}&\Rightarrow\left[\ \begin{aligned}&c < -1:\\&\Rightarrow \frac{(-)(-)}{(-)} < 0\\&\Rightarrow \textsf{memenuhi}\\&{-}1 \le c < 0:\\&\Rightarrow \frac{(+\lor0)(-)}{(-)} \ge 0\\&\Rightarrow \textsf{tidak memenuhi}\\&0 < c < 6:\\&\Rightarrow \frac{(+)(-)}{(+)} < 0\\&\Rightarrow \textsf{memenuhi}\\&c \ge 6:\\&\Rightarrow \frac{(+)(+\lor0)}{(+)} \ge 0\\&\Rightarrow \textsf{tidak memenuhi}\\\end{aligned}\right.\end{aligned}

\begin{aligned}&\therefore\ {\sf Rentang\ yang\ memenuhi}\ \frac{c^2-6}{5c} < 1:\\&\qquad c < -1\ {\sf atau}\ 0 < c < 6\\&\qquad\Rightarrow\ \big({-}\infty,\ -1\big)\cup\big(0,\ 6\big)\quad...(ii)\end{aligned}

Sehingga, rentang nilai c untuk deret geometri
\begin{aligned}S=2+\sqrt{\frac{4c^2-24}{5c}}+\frac{2c^2-12}{5c}+{\dots}\end{aligned}
bila S\in\mathbb{R} adalah:

\begin{aligned}(i)\cap(ii)&=\big({-}\sqrt{6},\ 0\big)\cup\big(\sqrt{6},\ \infty\big)\\&\qquad\qquad\quad\bigcap\\&\quad\ \ \big({-}\infty,\ -1\big)\cup\big(0,\ 6\big)\\&=\big({-}\sqrt{6},\ -1\big)\:\cup\:\big(\sqrt{6},\ 6\big)\\\end{aligned}
atau dapat dinyatakan juga dengan:
\boxed{\large\text{$\begin{aligned}\bf{-}\sqrt{6} < c < -1\ \:{\sf atau}\ \:\sqrt{6} < c < 6\end{aligned}$}}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 12 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>