Jawaban:

r = 6 satuan panjang

PEMBAHASAN

Kesebangunan Segitiga Siku-Siku, Teorema Pythagoras, dan Lingkaran

(Silahkan merujuk gambar terlampir)

ΔABC adalah segitiga siku-siku, dengan panjang sisi siku-sikunya 3 dan 4 satuan panjang. ΔABC sebangun dengan segitiga besar yang merupakan setengah persegi panjang, karena sisi miring ΔABC berimpit dengan garis diagonal persegi panjang, yang merupakan sisi miring segitiga besar. Semua segitiga siku-siku yang memiliki sisi miring berimpit atau sejajar dengan garis diagonal ini sebangun dengan segitiga besar.

Pada gambar, garis OG ⊥ garis diagonal persegi panjang, sehingga merupakan jari-jari lingkaran.

Garis OE adalah garis tegak dari titik pusat lingkaran hingga menyentuh garis diagonal persegi panjang.

Dari garis ini, tercipta ΔEDC yang kongruen dengan ΔABC, bukan hanya sebangun, karena CG = CD, dan garis OC tepat membagi busur GD menjadi 2 bagian yang kongruen. Karena kekongruenan tersebut,

∴  BC = CD

Cara pertama

Cara pertama yang cukup sederhana adalah:

r = BC + CD

⇔ r = 2BC

⇔ r = 2×3 = 6 satuan panjang

Cara kedua

ΔEGO sebangun dengan ΔABC. Maka:

OE / AC = OG / BC

⇔ (OD + DE) / AC = OG / BC

OD = OG = r

AC = 5, sesuai dengan tripel Pythagoras (3, 4, 5).

⇔ (r + DE) / AC = r / BC

⇔ (r + 4) / 5 = r / 3

⇔ 3(r + 4) = 5r

⇔ 3r + 12 = 5r

⇔ 12 = 5r – 3r

⇔ 12 = 2r

⇔ 6 = r

⇔ r = 6 satuan panjang

KESIMPULAN

∴  r = 6 satuan panjang