A merupakan bayangan titik A(3, 5) oleh rotasi sebesar 90⁰

Berikut ini adalah pertanyaan dari ItzYourDark pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

A merupakan bayangan titik A(3, 5) oleh rotasi sebesar 90⁰ berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis y = x. Koordinat titik A adalah ....* $\bold{\underline{Rules \: :}}$
$✎ \: No \: Calcu \: ☑$
$✎\: No \: bahasa \: alien \: ☑︎$
$✎ \: No \: Jawab \: Dikomen \: ☑︎$
$✎ \: Memakai \: Cara \: ☑︎$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pendahuluan:

Untuk menjawab soal geometri transformasi linear pada bidang $\mathbb{R}^2$ kita bisa melihat dua titik yang dinamakan "basis standar" pada $\mathbb{R}^2$ . Titik-titik ini adalah

$\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

Semua transformasi (linear) pada sembarang titik $\vec{v}$ di $\mathbb{R}^2$ dapat direpresentasikan sebagai matriks $M$ . Matriks transformasi ini selalu berbentuk

$M = [ M\vec{e}_1 \ | \ M\vec{e}_2 ]$

Dimana $M\vec{e}_1$ adalah vektor kolom bayangan dari $\vec{e_1}$ apabila ditransformasikan $M$ , dan

$M\vec{e}_2$ adalah vektor kolom bayangan dari $\vec{e_2}$ apabila ditransformasikan $M$ .

nanti, bayangan dari $\vec{v}$ yang ditransformasikan dapat dicari dengan mencari vektor

$\vec{y} = M \vec{v} = [M\vec{e}_1 \ | \ M\vec{e}_2 ] \vec{v}$

(perkalian matriks dengan vektor).

Jawab:

Untuk mencari soal diatas, kita perlu cari dua matriks

Matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam
Matriks refleksi terhadap garis y = x.

Kemudian mencari bayangan dari $\vec{v} = (3,5)$ yang dikenakan dua transformasi/matriks diatas.

1. Cari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam :

untuk mencari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam, namakan matriks $S$ . Perhatikan jika kita punya

$\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

maka

$S = [ S\vec{e}_1 \ | \ S\vec{e}_2 ] = \left[S\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ S\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right]$

jika kita rotasikan $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}$ terhadap $S$ didapat

$S\vec{e}_1 = S \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

jika kita rotasikan $\vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$ terhadap $S$ didapat

$S\vec{e}_2 = S \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}$

Akibatnya matriks $S$ didapat sebagai

$S = [ S\vec{e}_1 \ | \ S\vec{e}_2 ] = \left[S\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ S\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right] = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$

2. Cari matriks refleksi terhadap garis y = x.

untuk mencari matriks refleksi terhadap garis y = x, namakan matriks $T$ . Perhatikan jika kita punya

$\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

maka

$T = [ T\vec{e}_1 \ | \ T\vec{e}_2 ] = \left[T\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ T\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right]$

jika kita refleksikan $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}$ terhadap $T$ didapat

$T\vec{e}_1 = T \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

jika kita refleksikan $\vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$ terhadap $T$ didapat

$T\vec{e}_2 = T \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$

Akibatnya matriks $T$ didapat sebagai

$T = [ T\vec{e}_1 \ | \ T\vec{e}_2 ] = \left[T\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ T\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right] = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$

Bayangan dari $\vec{v} = (3,5)$

Untuk mencari bayangan dari $\vec{v} = (3,5)$ pertama kita harus lakukan rotasi (kalikan dengan $S$ ) terlebih dahulu, lalu refleksikan (kalikan dengan $T$ )

Akibatnya, bayangan dari $\vec{v} = (3,5)$ adalah $\vec{y}$ , dimana

$\vec{y} = T (S \vec{v})$

kita kalikan $S\vec{v}$ terlebih dahulu karena kita rotasi terlebih dahulu!

akibatnya

$\vec{y} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\5 \end{bmatrix}$