mohon bantuannya suhu suhu yang baik hati nomor 2b dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari s1luarnegeri pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya suhu suhu yang baik hati nomor 2b dan 4a

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 2b

Nilai maksimum dari fungsi $f(x)=x^3-9x^2+27x-24$ dengan 1 ≤ x ≤ 4 adalah 4 (pada saat x = 4), dan nilai minimumnya adalah –5 (pada saat x = 1).

Nomor 4a

Titik stasioner $f(x) = x^3-x^2+7$ adalah:

x = 0, berjenis titik maksimum.
x = 2/3, berjenis titik minimum.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nomor 2b

Kita bisa menggunakan cara yang cukup panjang dengan memeriksa arah fungsi dalam interval nilai x yang diberikan. Namun, untuk soal ini, kita dapat perhatikan kemonotonan fungsi f(x).

f(x) monoton naik jika f’(x) > 0 pada sebuah interval tertentu.

Turunan pertama $f(x) = x^3-9x^2+27x-24$ adalah:
$f'(x)=3x^2-18x+27$

f(x) naik ketika:

$\large\text{$\begin{aligned}f'(x)& > 0\\3x^2-18x+27 & > 0\\x^2-6x+9 & > 0\\(x-3)^2 & > 0\\\Rightarrow x < 3\ \textsf{atau}&\ x > 3\end{aligned}$}$

Kesimpulannya, f(x) naik pada interval x < 3 atau x > 3, sedangkan pada saat x = 3, f(x) berbelok (saddle point), karena fungsi terus naik (tidak turun).

Dari kesimpulan tersebut, kita sudah bisa tentukan bahwa pada interval 1 ≤ x ≤ 4, nilai f(1) adalah nilai minimum, dan nilai f(4) adalah nilai maksimum.

$\large\text{$\begin{aligned}f(1)&=1^3-9\cdot1^2+27\cdot1-24\\&=1-9+27-4\\f(1)&=\bf-5\\f(4)&-4^3-9\cdot4^2+27\cdot4-24\\&=64-144+108-24\\f(4)&=\bf4\end{aligned}$}$

KESIMPULAN

Nilai maksimum dari fungsi $f(x)=x^3-9x^2+27x-24$ dengan 1 ≤ x ≤ 4 adalah 4 (pada saat x = 4), dan nilai minimumnya adalah –5 (pada saat x = 1).

__________

Nomor 4a

Turunan pertama dari $f(x) = x^3-x^2+7$ adalah:
$f'(x)=3x^2-2x$

Fungsi f(x) stasioner ketika f’(x) = 0.

$\large\text{$\begin{aligned}f'(x)&=0\\3x^2-2x&=0\\x(3x-2)&=0\\\Rightarrow x=0\ \textsf{atau}&\ x=\frac{2}{3}\end{aligned}$}$

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita bisa selidiki nilainya, atau gunakan uji turunan kedua.

Turunan kedua dari $f(x) = x^3-x^2+7$ adalah:
$f''(x)=6x-2$

Pada saat x = 0, $f''(0)=-2$ .
Karena $f''(0) < 0$ , maka titik x = 0 adalah titik maksimum f(x).
Pada saat x = 2/3, $f''(2/3)=2$ .
Karena $f''(2/3) > 0$ , maka titik x = 2/3 adalah titik minimum f(x).