1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan himpunan penyelesaian dari [tex]\large 81^{\sin^2x}+81^{\cos^2x}=30, 0\leq x\leq 2\pi[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan himpunan penyelesaian dari\large 81^{\sin^2x}+81^{\cos^2x}=30, 0\leq x\leq 2\pi

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaianuntuk81^{\sin^2x}+81^{\cos^2x}=30dengan0 \leq x \leq 2\pi adalah:
\displaystyle\bf\left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{11\pi}{6}\right\}
 

Pembahasan

Diberikan persamaan:

\begin{aligned}&81^{\sin^2(x)}+81^{\cos^2(x)}=30,\quad0 \leq x \leq 2\pi\\\end{aligned}

Kita akan menentukan himpunan penyelesaiannya.

\begin{aligned}&81^{\sin^2x}+81^{\cos^2x}=30\\&{\Rightarrow\ }\left(9^2\right)^{\sin^2x}+\left(9^2\right)^{\cos^2x}-30=0\\&{\Rightarrow\ }9^{\left(2\sin^2x\right)}+9^{\left(2\cos^2x\right)}-30=0\\&\quad\bullet\ 2\sin^2x=1-\cos2x\\&\quad\bullet\ 2\cos^2x=1+\cos2x\\&{\Rightarrow\ }9^{(1-\cos2x)}+9^{(1+\cos2x)}-30=0\\&\quad\textsf{Kalikan kedua ruas dengan $9^{\cos2x}$.}\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }9^{1}+9^{(1+2\cos2x)}-30\cdot9^{\cos2x}=0\\&{\Rightarrow\ }9\cdot9^{2\cos2x}-30\cdot9^{\cos2x}+9=0\\&{\Rightarrow\ }9\cdot\left(9^{\cos2x}\right)^2-30\cdot9^{\cos2x}+9=0\\&\quad\textsf{Ambil $a=9^{\cos2x}$.}\\&{\Rightarrow\ }9a^2-30a+9=0\\&{\Rightarrow\ }3\left(3a^2-10a+3\right)=0\\&{\Rightarrow\ }3a^2-10a+3=0\\&{\Rightarrow\ }(3a-1)(a-3)=0\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{1}{3}\ \lor\ a=3\\&{\Rightarrow\ }9^{\cos2x}=\frac{1}{3}\ \lor\ 9^{\cos2x}=3\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }3^{2\cos2x}=3^{-1}\ \lor\ 3^{2\cos2x}=3^1\\&{\Rightarrow\ }\cos2x=-\frac{1}{2}\ \lor\ \cos2x=\frac{1}{2}\\&{\Rightarrow\ }2x\in\left\{\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\right\}\ \cup\ \left\{\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n\right\}\end{aligned}

Solusi umum:

\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }x\in\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+\pi n\right\}\ \cup\ \left\{\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+\pi n\right\}\\&{\Rightarrow\ }x\in\left\{\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+\pi n\right\}\\\end{aligned}

Himpunan penyelesaianpada rentang0 \leq x \leq 2\pi:

\begin{aligned}&\therefore\ \boxed{\vphantom{\Bigg|}\;\bf HP=\left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{11\pi}{6}\right\}\;}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 03 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>