Kelas : XI (2 SMA)

Materi : Trigonometri

Kata Kunci : trigonometri, persamaan

Pembahasan :

(sin 3x - cos 4x)(cos 5x - sin 4x) = 0, 0 < x < 360°

⇔ sin 3x cos 5x - sin 3x sin 4x - cos 4x cos 5x + sin 4x cos 4x = 0

⇔ sin 3x cos 5x - sin 3x sin 4x = cos 4x cos 5x - sin 4x cos 4x

⇔ sin 3x(cos 5x - sin 4x) = cos 4x(cos 5x - sin 4x)

⇔  

⇔  

⇔ sin 3x = cos 4x

⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 cos⁴ x - 8 cos² x + 1

⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 cos² x . (cos² x - 1) + 1

⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 . (1 - sin² x)(1 - sin² x - 1) + 1

⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 . (1 - sin² x)(-sin² x) + 1

⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = -8 sin² x + 8 sin⁴ x + 1

⇔ 8 sin⁴ x + 4 sin³ x - 8 sin² x - 3 sin x + 1 = 0

Misalkan sin x = p, sehingga

⇔ 8p⁴ + 4p³ - 8p² - 3p + 1 = 0

⇔ (p + 1)(8p³ - 4p² - 4p + 1) = 0

Karena 8p³ - 4p² - 4p + 1 = 0 tidak dapat difaktorkan, sehingga

p + 1 = 0

⇔ p = -1

⇔ sin x = -1

⇔ sin x = sin 270°

⇔ x = 270 + k . 360 atau x = (180 - 270) + k . 360

untuk k = 0 dan k = 1, diperoleh

x = 270

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan (sin 3x - cos 4x)(cos 5x - sin 4x) = 0 adalah 270.

Semangat!