(A)Selesaikan Persamaan Diferensial Linier x^2 dy/dx

Berikut ini adalah pertanyaan dari whoiam99 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

(A)Selesaikan Persamaan Diferensial Linier x^2 dy/dx +xy = 6x^3(B) Carilah solusi Implisit dari persamaan diferensial Linier
$cosx \: \: \frac{dy}{dx} + ( sinx)y = 1$
(C) Carilah solusi diferensial non linier
$\frac{dy}{dx} - y = e {}^{x} y {}^{2}$

(D) Selesaikan persamaan diferensial non homogen
$\frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} } + \frac{dy}{dx} - 6y = 18$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

A. Maka solusi PD nya xy - 2 $x^{3}$ = c

B. Maka solusi Implisit dari persamaan diferensial Linier yaitu y = sin x + c cos x.

C. Maka solusi diferensial non liniersolusi diferensial non linier y = $e^{x} y^{2} +xy +c$ .

D. Sehingga persamaan diferensial non homogen yaitu $y_{n} = Ae^{-3x} + Be^{2x}$

Penjelasan dengan langkah-langkah

A. Diketahui : x^2 dy/dx +xy = 6x^3

Ditanya : Selesaikan Persamaan Diferensial Linier

Dijawab :

Penyelesaian PD Linier $x^{2} \frac{dy}{dx}+xy=6x^{3}$

Maka :

$(x^{2} \frac{dy}{dx} + xy =6x^{3})$ dikali $\frac{1}{x^{2} }$

↔ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = 6x$

diperoleh : P (x) = $\frac{1}{x}$ dan Q (x) = 6x

faktor integrasi : e^∫ P(x) dx

e^ $\frac{1}{x} dx$ = $e^{ln(x)}$ = x

Penyelesaian PD tersebut yaitu :

y . e^p(x) dx = ∫G(x) . e^∫p(x)dx dx

y . x = ∫6x . x dx

xy = ∫6 $x^{2}$ dx

xy = $\frac{6}{3} x^{3} +c$

xy = 2 $x^{3} + c$

Maka solusi PD nya xy - 2 $x^{3}$ = c

B. Diketahui : cos x $(\frac{dy}{dx})$ + y sin x = 1

Ditanya : Carilah solusi Implisit dari persamaan diferensial Linier

Dijawab :

cos x $(\frac{dy}{dx})$ + y sin x = 1

$\frac{dy}{dx} + y \frac{sin x}{cos x} = \frac{1}{cos x}$

$\frac{dy}{dx} + y$ tan x (P) = sec x (G)

$\frac{dy}{dx} + py = Q$

P = tan x, Q = sec x

J p dx = ∫ tan x dx

= ∫ $\frac{sin x}{cos x} dx$ → misal ; u = sin x , du = cos x dx

= ∫ $\frac{sin x}{V} (-\frac{dv}{sinx})$ ; V = cos x

= -1 ∫ $\frac{1}{V}$ dv ; $\frac{dv}{dx} = - sin$ x

= -1 In V

= $- ^{e} log$ (cos x) ; dx = $\frac{dV}{sin x}$

Faktor Intergal = e^∫ pd x = e^e log $\frac{1}{cos x}$ = sec x

y' sec x = ∫ Q.sec x dx + c

y sec x = ∫ sec x . sec x dx + c

y sec x = ∫ $sec^{2}$ x dx + c

y sec x = ∫ $\frac{1}{cos^{2x} }$ dx + c

y sec x = $\frac{tan x + c }{sec x}$

y = sin x + c cos x

Maka solusi Implisit dari persamaan diferensial Linier yaitu y = sin x + c cos x.

C. Diketahui : $\frac{dy}{dx} - y = e^{2} y^{2}$

Ditanya : Carilah solusi diferensial non linier

Dijawab :

$\frac{dy}{dx} - y = e^{x} y^{2}$

$\frac{dy}{dx} = e^{x} y^{2} + y$

$dy = (e^{x} y^{2} + y ) dx$

∫dy = ∫ $e^{x} y^{2} dx +$ ∫ y dx

y = $y^{2}$ ∫ $e^{x}$ dx + xy

y = $e^{x} y^{2} +xy +c$

Maka solusi diferensial non liniersolusi diferensial non linier y = $e^{x} y^{2} +xy +c$ .

D. Diketahui : $\frac{d^{2} y }{dx^{2} } + \frac{dy}{dx} - 6y = 18$

Ditanya : Selesaikan persamaan diferensial non homogen

Dijawab :

$\frac{d^{2} y }{dx^{2} } + \frac{dy}{dx} - 6y = 18\\\frac{d^{2}y }{dx^{2} } + \frac{dy}{dx} - 6y = 0 \\ (k^{2} + k-6)=0\\ (k+3)(k-2) = 0 \\k_{1} =-3 V k_{2} =2$