Jawaban:

Nilai p yang positif adalah 2 √2.

Nilai p yang negatif adalah - 2 √2 dan nilai q adalah 4.

Penjelasan:

KEDUDUKAN GARIS PADA LINGKARAN

Ada beberapa persamaan umum lingkaran, yaitu

   x² + y² = r² untuk persamaan lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan jari - jari r.

   (x - k)² + (y - l)² = r² untuk persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari - jari r.

   x² + y² + Ax + By + C = 0

Pada persamaan yang terakhir sebenarnya diperoleh dari persamaan kedua.

(x - k)² + (y - l)² = r²

x² - 2kx + k² + y² - 2ly + l² - r² = 0

x² + y² - 2kx - 2ly + k² + l² - r² = 0

Maka

A = - 2k

B = - 2l

C = k² + l² - r²

Ada tiga kemungkinan kedudukan garis pada lingkaran

   Memotong lingkaran

   Menyinggung lingkaran

   Tidak memotong ataupun menyinggung

Hal ini dapat diketahui dengan mensubtitusi nilai y dari persamaan garis pada persamaan lingkaran. Lalu cari nilai diskriminannya.

D = b² - 4ac

Bila

   D > 0 ⇒ garis memotong lingkaran di dua titik.

   D = 0 ⇒ garis menyinggung lingkaran.

   D < 0 ⇒ garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran

Diketahui:

Persamaan lingkaran x² + y² - 2px + q = 0

r = 2

Persamaan garis singgung x - y = 0

Ditanyakan:

Nilai p positif ?

Penjelasan:

Cari jari - jari lingkaran dari persamaan lingkaran.

x² + y² - 2px + q = 0

Dari persamaan umum lingkaran, diketahui

A = - 2p

B = 0

C = q

A = - 2p

- 2k = - 2p

k = - 2p ÷ - 2

k = p

B = 0

-2l = 0

l = 0 ÷ - 2

l = 0

C = q

k² + l² - r² = q

p² + 0² - r² = q

- r² = q - p²

r² = p² - q

2² = p²- q

p² - q = 4... persamaan 1

Persamaan garis

x - y = 0

x = y

y = x

Subtitusi ke persamaan lingkaran

x² + y² - 2px + q = 0

x² + (x)² - 2px + q = 0

x² + x² - 2px + q = 0

2x² - 2px + q = 0

a = 2   b = -2p  c = q

D = 0 karena menyinggung

b² - 4ac = 0

(-2p)² - (4 × 2 × q) = 0

4p² - 8q = 0

4p² = 8q

p² = 2q... persamaan 2

Subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1

p² - q = 4

2q - q = 4

q = 4

Subtitusi ke persamaan 2

p² = 2q

p² = 2 × 4

p² = 8

p² - 8 = 0

(p - \sqrt{8})(p + \sqrt{8}) = 0

p = \sqrt{8} atau p = - \sqrt{8}

p = 2√2   atau p = - 2 √2

Jadi nilai p positif adalah 2√2.