1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan integral cos² sin⁴ x dx

Berikut ini adalah pertanyaan dari silverius01ndruru pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan integral cos² sin⁴ x dx

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari integral bentuk trigonometri cos²x sin⁴x dx adalah \frac{x}{16}-\frac{\text{sin }2x}{64}-\frac{\text{sin }4x}{64}+\frac{\text{sin }6x}{192}+C.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kemungkinan soal tertinggal menulis variabel x sesudah cos² dan sebelum sin², sehingga bentuknya seharusnya: cos²x sin⁴x (soal pada umumnya untuk tingkat SMA).

Ingat rumus trigonometri berikut:

  • sin²0,5x = (1-cos x)/2 (sinus sudut pertengahan)
  • sin 2x = 2sin x cos x (sinus sudut rangkap)
  • cos x×cos y = [cos(x+y)+cos(x-y)]/2 (perkalian cosinus)
  • cos(-x) = cos x (sifat cosinus)

Mari integralkan bentuk trigonometri pada soal.

\int\limits {\text{cos}^2x\cdot \text{sin}^4x} \, dx\\=\int\limits {\text{cos}^2x\cdot \text{sin}^2x\cdot \text{sin}^2x} \, dx\\=\int\limits {(\text{cos}^2x\cdot \text{sin}^2x)(\frac{1- \text{cos }2x}{2})} \, dx\\=\int\limits {(\text{cos }x\cdot \text{sin }x)^2(\frac{1- \text{cos }2x}{2})} \, dx\\=\int\limits {(\frac{1}{2}\text{sin }2x)^2(\frac{1- \text{cos }2x}{2})} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{4}\text{sin}^22x(\frac{1- \text{cos }2x}{2})} \, dx

=\int\limits {\frac{1}{4}(\frac{1- \text{cos }4x}{2})(\frac{1- \text{cos }2x}{2})} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}(1-\text{cos }4x)(1- \text{cos }2x)} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}(1-\text{cos }4x-\text{cos }2x+\text{cos }2x\cdot \text{cos }4x)} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}[1-\text{cos }4x-\text{cos }2x+\frac{1}{2}(\text{cos}(2x+4x)+\text{cos}(2x-4x))]} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}[1-\text{cos }4x-\text{cos }2x+\frac{1}{2}(\text{cos }6x+\text{cos}(-2x))]} \, dx

=\int\limits {\frac{1}{16}[1-\text{cos }4x-\text{cos }2x+\frac{1}{2}(\text{cos }6x+\text{cos }2x)]} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}(1-\text{cos }4x-\text{cos }2x+\frac{1}{2}\text{cos }6x+\frac{1}{2}\text{cos }2x)} \, dx\\=\int\limits {\frac{1}{16}(1-\frac{1}{2}\text{cos }2x-\text{cos }4x+\frac{1}{2}\text{cos }6x)} \, dx\\=\frac{1}{16}\int\limits {(1-\frac{1}{2}\text{cos }2x-\text{cos }4x+\frac{1}{2}\text{cos }6x)} \, dx

=\frac{1}{16}(x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\text{sin }2x-\frac{1}{4}\text{sin }4x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\text{sin }6x)+C\\=\frac{1}{16}(x-\frac{1}{4}\text{sin }2x-\frac{1}{4}\text{sin }4x+\frac{1}{12}\text{sin }6x)+C\\=\frac{x}{16}-\frac{\text{sin }2x}{64}-\frac{\text{sin }4x}{64}+\frac{\text{sin }6x}{192}+C

Jadi, hasil integralnyaadalah\frac{x}{16}-\frac{\text{sin }2x}{64}-\frac{\text{sin }4x}{64}+\frac{\text{sin }6x}{192}+C.

Pelajari lebih lanjutnya:

Materi tentang Menentukan Integral Berbagai Bentuk Trigonometri yomemimo.com/tugas/30175608

#BelajarBersamaBrainly

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh anginanginkel dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 27 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>