Jawab:

Untuk menentukan titik ekstrim (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi, pertama-tama kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi Y = 4x³ - 8x² + 12x - 9 adalah Y' = 12x² - 16x + 12.

Kemudian, kita mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan Y' = 0. Persamaan ini disebut persamaan turunan pertama atau persamaan kriteria. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini disebut titik belok.

Kita dapat mencari akar-akar dari persamaan Y' = 0 dengan menggunakan rumus akar-akar kuadratik. Rumus ini adalah x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, di mana a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0.

Dalam kasus ini, a = 12, b = -16, dan c = 12. Jadi, akar-akar dari persamaan Y' = 0 adalah x = (16 ± √(256 - 144)) / 24 = (16 ± √(112)) / 24 = (16 ± 4√7) / 24 = (4 ± √7) / 6.

Sekarang kita tahu titik belok dari fungsi Y = 4x³ - 8x² + 12x - 9, yaitu x = (4 ± √7) / 6. Selanjutnya, kita perlu menentukan apakah titik belok tersebut merupakan titik maksimum atau minimum.

Untuk melakukan ini, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi Y. Turunan kedua dari fungsi Y = 4x³ - 8x² + 12x - 9 adalah Y'' = 24x - 16.

Kemudian, kita perlu mengevaluasi turunan kedua tersebut pada titik belok yang telah kita temukan. Jika Y'' > 0 pada titik belok tersebut, maka titik belok tersebut merupakan titik minimum. Jika Y'' < 0 pada titik belok tersebut, maka titik belok tersebut merupakan titik maksimum. Jika Y'' = 0 pada titik belok tersebut, maka titik belok tersebut mungkin merupakan titik ekstrim atau mungkin tidak merupakan titik ekstrim sama sekali.

Sekarang kita perlu mengevaluasi turunan kedua Y'' pada titik belok yang telah kita temukan. Pada titik belok x = (4 + √7) / 6, Y'' = 24((4 + √7) / 6) - 16 = 8 + 4