Jawaban:

a. 125 kg

b. 210,156.25

Penjelasan:

a. Untuk mencari alokasi input yang optimal, kita dapat menggunakan persamaan marginal rate of technical substitution (MRTS), yaitu:

MRTS = - ΔX2/ΔX1 = MPX2/MPX1

dimana ΔX2 dan ΔX1 adalah perubahan input Y2 dan Y1 yang diambil, sedangkan MPX2 dan MPX1 adalah produktivitas marginal input Y2 dan Y1.

Dari fungsi produksi Y1, kita dapatkan MPX1 = 100 - 0.2X

Dari fungsi produksi Y2, kita dapatkan MPX2 = 125 - 0.4X

Maka MRTS = (125 - 0.4X) / (100 - 0.2X)

Dalam kondisi optimal, MRTS harus sama dengan harga relatif output yaitu py2/py1 = 2/4 = 0.5

Maka 0.5 = (125 - 0.4X) / (100 - 0.2X)

0.5(100 - 0.2X) = 125 - 0.4X

50 - 0.1X = 125 - 0.4X

0.3X = 75

X = 250

Jadi alokasi input optimal adalah X1 = 250 kg dan X2 = 125 kg.

b. Untuk mencari besarnya penerimaan yang maksimal, kita dapat menggunakan persamaan fungsi produksi:

Y1 = 100X - 0.1X²

Y2 = 125X - 0.2X²

Maka total penerimaan (TR) = py1Y1 + py2Y2

= 4(100X - 0.1X²) + 2(125X - 0.2X²)

= 400X - 0.4X² + 250X - 0.4X²

= 650X - 0.4X²

Turunkan TR terhadap X, maka dTR/dX = 650 - 0.8X

Setelahnya, samakan dengan nol untuk mencari nilai X yang memaksimalkan TR:

dTR/dX = 0

650 - 0.8X = 0

X = 812.5

Maka, untuk pupuk sebanyak 50 kg, alokasi optimal input adalah X1 = 250 kg dan X2 = 125 kg, dengan penerimaan maksimal sebesar:

TR = 650X - 0.4X² = 650(812.5) - 0.4(812.5)² = 210,156.25

cmiiw