Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 4 yang melalui titik (0, 4) adalah y = \sqrt{3}x + 4 dan y = -\sqrt{3}x + 4. Lingkaran adalah kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak sama tersebut kita namakan jari-jari dan titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran. Jika titik (x₁, y₁) terletak pada lingkaran, maka persamaan garis singgung lingkaran di titik (x₁, y₁)

Berpusat di (0, 0) : x² + y² = r² adalah

x₁ x + y₁ y = r²

Berpusat di (a, b) : (x – a)² + (y – b)² = r² adalah

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

Bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0 adalah

x₁ x + y₁ y + ½ A (x + x₁) + ½ B (y + y₁) + C = 0

Jika (x₁, y₁) berada di luar lingkaran (x₁² + y₁² > r²), maka kita misalkan persamaan garis singgung tersebut adalah y = mx + c, kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran dan diskrimannya sama dengan nol (D = b² – 4ac = 0)

Pembahasan

x² + y² = 4

kita coba cek apakah (0, 4) berada pada lingkaran atau di luar lingkaran dengan mensubtitusikan ke persamaan lingkaran

0² + 4² .... 4

0 + 16 .... 4

16 > 4

Karena x₁² + y₁² > r² maka (0, 4) berada di luar lingkaran

Misal persamaan garis singgung lingkaran di titik (0, 4) tersebut adalah

y = mx + c

Substitusikan titik (0, 4)

4 = m(0) + c

4 = c

Jadi

y = mx + 4

Subsitusikan y = mx + 4 ke persamaan lingkaran

x² + y² = 4

x² + (mx + 4)² = 4

x² + m²x² + 8mx + 16 = 4

(1 + m²)x² + 8mx + 12 = 0

Karena menyinggung lingkaran maka diskriminannya sama dengan nol.

a = (1 + m²)

b = 8m

c = 12

D = 0

b² – 4ac = 0

(8m)² – 4(1 + m²)(12) = 0

64m² – 48(1 + m²) = 0

64m² – 48 – 48m² = 0

16m² = 48

m² = \frac{48}{16}

m² = 3

m = ± √3

Jadi persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah

y = mx + 4

y = ± \sqrt{3}x + 4

y = \sqrt{3}x + 4 dan y = -\sqrt{3}x + 4