1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

\lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt {

Berikut ini adalah pertanyaan dari rzkyikkyy pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

\lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { x ^ { 2 } - x + 4 } - \sqrt { x ^ { 2 } + x - 2 } ) =​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&=\ \large\text{$\bf{-}1$}\end{aligned}

 

Pembahasan

Limit

Kita akan menentukan nilai dari:

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)

 

Cara Pertama: Dengan rumus cepat

Rumus cepat mencari nilai limit pada bentuk:

\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)\end{aligned}

adalah:

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)\\&{=\ }\begin{cases}\infty,&\text{untuk }a > p\\\\\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}},&\text{untuk }a=p\\\\-\infty,&\text{untuk }a < p\end{cases}\end{aligned}

\begin{aligned}&{\rm Untuk\ }x^2-x+4:\\&{\Rightarrow\ }a=1,\ b=-1,\ c=4\\&{\rm Untuk\ }x^2+x-2:\\&{\Rightarrow\ }p=1,\ q=1,\ r=-2\\\end{aligned}

Karena a = p, maka kita dapat menggunakan rumus kedua di atas.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&{=\ }\frac{-1-1}{2\sqrt{1}}\\&{=\ }\frac{-2}{2}\\&{=\ }\boxed{\ \bf{-}1\ }\end{aligned}

\blacksquare

 

Cara Kedua: Cara panjang

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left[\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\times\frac{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\right]\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x+4-\left(x^2+x-2\right)}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{-2x+6}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\times\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-x+4}}{x}+\dfrac{\sqrt{x^2+x-2}}{x}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2-x+4}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+x-2}{x^2}}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&{=\ }\frac{-2+0}{\sqrt{1-0+0}+\sqrt{1+0-0}}\\&{=\ }\frac{-2}{1+1}\\&{=\ }\boxed{\ \bf{-}1\ }\end{aligned}

\blacksquare

 

KESIMPULAN

\begin{aligned}\therefore\ &\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&=\ \large\text{$\bf{-}1$}\end{aligned}

 

[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&=\ \large\text{$\bf{-}1$}\end{aligned}[/tex] PembahasanLimitKita akan menentukan nilai dari:[tex]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)[/tex] Cara Pertama: Dengan rumus cepatRumus cepat mencari nilai limit pada bentuk:[tex]\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)\end{aligned}[/tex]adalah:[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)\\&{=\ }\begin{cases}\infty,&\text{untuk }a > p\\\\\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}},&\text{untuk }a=p\\\\-\infty,&\text{untuk }a < p\end{cases}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\rm Untuk\ }x^2-x+4:\\&{\Rightarrow\ }a=1,\ b=-1,\ c=4\\&{\rm Untuk\ }x^2+x-2:\\&{\Rightarrow\ }p=1,\ q=1,\ r=-2\\\end{aligned}[/tex]Karena [tex]a = p[/tex], maka kita dapat menggunakan rumus kedua di atas.[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&{=\ }\frac{-1-1}{2\sqrt{1}}\\&{=\ }\frac{-2}{2}\\&{=\ }\boxed{\ \bf{-}1\ }\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] Cara Kedua: Cara panjang[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left[\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\times\frac{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\right]\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x+4-\left(x^2+x-2\right)}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{-2x+6}{\sqrt{x^2-x+4}+\sqrt{x^2+x-2}}\times\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-x+4}}{x}+\dfrac{\sqrt{x^2+x-2}}{x}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2-x+4}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+x-2}{x^2}}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{-2+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}}\\&{=\ }\frac{-2+0}{\sqrt{1-0+0}+\sqrt{1+0-0}}\\&{=\ }\frac{-2}{1+1}\\&{=\ }\boxed{\ \bf{-}1\ }\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] KESIMPULAN[tex]\begin{aligned}\therefore\ &\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-x+4}-\sqrt{x^2+x-2}\right)\\&=\ \large\text{$\bf{-}1$}\end{aligned}[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 22 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>