Jawaban:

4

Penjelasan:

Mengubah sedikit pertanyaannya

Mencari digit satuan dari 2017²⁰¹⁷ + 2017 sama dengan mencari sisa bagi dari (2017²⁰¹⁷ + 2017)/10. Atau

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ ? (mod 10)

Definisi

Bilangan koprima adalah pasangan bilangan asli yang tidak memiliki faktor persekutuan (kecuali 1). Atau bisa ditulis

“Jika m dan n merupakan bilangan koprima, maka FPB(m, n) = 1”

Teorema Euler

Teorema euler menjelaskan bahwa jika FPB(a, n) = 1, n ∈ ℕ, dan a ∈ ℤ, maka

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

Dimana φ(n) adalah banyaknya bilangan bulat kurang dari n yang koprima dengan n.

Contoh : Menentukan nilai φ(6)

Daftarkan bilangan asli yang kurang dari 6

1, 2, 3, 4, 5

Eliminasi bilangan yang bukan koprima dengan 6. Yaitu 2 karena FPB(2, 6) = 2 ≠ 1, 3 karena FPB(3, 6) = 3 ≠ 1, dan 4 karena FPB(4, 6) = 2 ≠ 1. Jadi bilangan yang tersisa adalah

1, 5

Berapa banyak bilangan yang tersisa? Jawabannya 2. Jadi, φ(6) = 2.

Menghitung nilai φ(10)

Daftarkan bilangan asli yang kurang dari 10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Eliminasi bilangan yang bukan koprima dengan 10. Yaitu 2, 4, 5, 6, dan 8. Jadi bilangan yang tersisa adalah

1, 3, 7, 9

Berapa banyak bilangan yang tersisa? Jawabannya 4. Jadi φ(10) = 4

Solusi

Substitusi a = 2017 dan n = 10. Karena FPB(2017, 10) = 1, maka

2017^φ(10) ≡ 1 (mod 10)

(10 × 201 + 7)^4 ≡ 1 (mod 10)

7⁴ ≡ 1 (mod 10)

Dan kita bisa menyelesaikan soal tersebut menggunakan fakta ini.

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ 7^(4 × 504 + 1) + 7 (mod 10)

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ (7⁴)⁵⁰⁴ × 7 + 7 (mod 10)

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ 1⁵⁰⁴ × 7 + 7 (mod 10)

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ 1 × 7 + 7 (mod 10)

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ 14 (mod 10)

2017²⁰¹⁷ + 2017 ≡ 4 (mod 10)

Jadi, digit satuan dari 2017²⁰¹⁷ + 2017 adalah 4.