Tentukan limit fungsi dari

Berikut ini adalah pertanyaan dari JonathanRiocardo pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban untuk nilai limit pada soal adalah:

$\begin{aligned}\vphantom{\Bigg|}\sf 1.\ &\lim_{x\to-4}\:\frac{x^2+x-12}{x^2+3x-4}=\boxed{\,\bf\frac{7}{5}\,}\\\vphantom{\Bigg|}\sf 2.\ &\lim_{x\to1}\:\frac{2-\sqrt{5-x}}{x-1}=\boxed{\,\bf\frac{1}{4}\,}\\\vphantom{\Bigg|}\sf 3.\ &\lim_{x\to\infty}\:\frac{6x^2+5}{2x^2-3x+1}=\boxed{\,\bf3\,}\\\vphantom{\Bigg|}\sf 4.\ &\lim_{x\to0}\:\frac{\sin6x}{3x}=\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pada semua soal yang diberikan, bentuk limitnya adalah bentuk tak-tentu, yang memenuhi 0/0 (nomor 1, 2, dan 4), atau ∞/∞ (nomor 3). Kita punya setidaknya 2 alternatif cara dalam mencari nilai limitnya, yaitu:

Cara 1: Pengolahan fungsi dalam limit.
Cara 2: Aturan L’Hopital, karena memenuhi bentuk tak-tentu 0/0 atau ∞/∞.

PENYELESAIAN SOAL

Nomor 1

Cara 1: Pemfaktoran

$\begin{aligned}&\lim_{x\to-4}\:\frac{x^2+x-12}{x^2+3x-4}\\&{=\ }\lim_{x\to-4}\:\frac{\cancel{(x+4)}(x-3)}{\cancel{(x+4)}(x-1)}\\&{=\ }\lim_{x\to-4}\:\frac{x-3}{x-1}\\&{=\ }\frac{-4-3}{-4-1}=\frac{-7}{-5}\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{7}{5}\,}\end{aligned}$

Cara 2: Aturan L’Hopital

$\begin{aligned}&\lim_{x\to-4}\:\frac{x^2+x-12}{x^2+3x-4}\\&{=\ }\lim_{x\to-4}\:\frac{\frac{d}{dx}\left(x^2+x-12\right)}{\frac{d}{dx}\left(x^2+3x-4\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to-4}\:\frac{2x+1}{2x+3}\\&{=\ }\frac{2(-4)+1}{2(-4)+3}=\frac{-8+1}{-8+3}\\&{=\ }\frac{-7}{-5}\ =\ \boxed{\,\bf\frac{7}{5}\,}\end{aligned}$
$\blacksquare$

Nomor 2

Cara 1: Mengalikan dengan bentuk sekawan

$\begin{aligned}&\lim_{x\to1}\:\frac{2-\sqrt{5-x}}{x-1}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\left(\frac{2-\sqrt{5-x}}{x-1}\times\frac{2+\sqrt{5-x}}{2+\sqrt{5-x}}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{4-(5-x)}{(x-1)\left(2+\sqrt{5-x}\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{-1+x}{(x-1)\left(2+\sqrt{5-x}\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}\left(2+\sqrt{5-x}\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{1}{2+\sqrt{5-x}}\\&{=\ }\frac{1}{2+\sqrt{5-1}}=\frac{1}{2+2}\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{1}{4}\,}\end{aligned}$

Cara 2: Aturan L’Hopital

$\begin{aligned}&\lim_{x\to1}\:\frac{2-\sqrt{5-x}}{x-1}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{\frac{d}{dx}\left(2-\sqrt{5-x}\right)}{\frac{d}{dx}(x-1)}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{\frac{d}{dx}\left(2-(5-x)^{1/2}\right)}{1}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{d}{dx}\left(2-(5-x)^{1/2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\left[0-\left(-\frac{1}{2}(5-x)^{1/2-1}\right)\right]\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}\\&{=\ }\lim_{x\to1}\:\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\\&{=\ }\frac{1}{2\sqrt{5-1}}=\frac{1}{2\cdot2}\end{aligned}$
${=\ }\boxed{\,\bf\frac{1}{4}\,}$
$\blacksquare$

Nomor 3

Cara 1: Membagi dengan suku berpangkat terbesar

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\:\frac{6x^2+5}{2x^2-3x+1}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{6x^2+5}{2x^2-3x+1}\times\frac{1/x^2}{1/x^2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(6+\dfrac{5}{x^2}\right)}{\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}\\&{=\ }\frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}6+\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^2}}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}2-\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}}\\&{=\ }\frac{6+0}{2-0+0}\\&{=\ }\boxed{\,\bf3\,}\end{aligned}$

Cara 2: Aturan L’Hopital

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\:\frac{6x^2+5}{2x^2-3x+1}\\\vphantom{\Big|}&\quad\rightarrow \textsf{Aturan L'H\^opital}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\frac{d}{dx}\left(6x^2+5\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x^2-3x+1\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{12x}{4x-3}\\\vphantom{\Big|}&\quad\rightarrow \textsf{Aturan L'H\^opital lagi}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\frac{d}{dx}(12x)}{\frac{d}{dx}(4x-3)}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{12}{4}=\lim_{x\to\infty}3\\&{=\ }\boxed{\,\bf3\,}\end{aligned}$

Untuk bentuk limit seperti pada nomor 3 ini, rumus cepatnya adalah:

$\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\:\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+{\dots}+a_n}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+{\dots}+b_n}=\frac{a_0}{b_0}\end{aligned}$
$\blacksquare$

Nomor 4

Cara 1

$\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\:\frac{\sin6x}{3x}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{\sin6x}{x}\right)\\&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin6x}{x}\\\vphantom{\Big|}&\quad\rightarrow \textsf{Ambil $u=6x\ \Rightarrow x=u/6$.}\\&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin u}{u/6}\\&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{6\sin u}{u}\\&{=\ }\frac{6}{3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin u}{u}\\\vphantom{\Bigg|}&\quad\rightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin u}{u}=1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }2\cdot1\\&{=\ }\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}$

Cara 2: Aturan L’Hopital

$\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\:\frac{\sin6x}{3x}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\:\frac{\frac{d}{dx}(\sin6x)}{\frac{d}{dx}(3x)}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\:\frac{6\cos6x}{3}\\&{=\ }\frac{6\cos0}{3}=\frac{6\cdot1}{3}\\&{=\ }\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}$