Jika yg diketahui diameter (d), maka rumus luas lingkaran dinyatakan hanya dengan d adalah:

• Dari cara pertama (metode persegi):
  ⇒ L = (3/4)·d² = ¼·3·d²
• Dari cara kedua (metode layang-layang):
  6 layang-layang kongruen:
  ⇒ L = (3/4)·d² = ¼·3·d²
  12 layang-layang kongruen:
  ⇒ L ≈ ¼·(3,105)·d²

yang mendekati rumus luas lingkaran L = ¼·π·d² ≈ ¼·(3,14)·d².
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita tahu bahwa rumus lingkaran dengan diameter (d) dan π diketahui adalah:
L = ¼·π·d² ≈ ¼·(3,14)·d².

Dengan hanya menggunakan diameternya saja, dan diasumsikan kita tidak mengenal konstanta π, maka kita dapat melakukan pendekatan sebagai berikut.

Cara Pertama: Dengan Luas Persegi

Kita dapat menggambar dua buah persegi, yaitu:

• Persegi 1: persegi di mana lingkaran tepat berada di dalamnya.
  ⇒ Panjang sisi: s = d
• Persegi 2: persegi yang tepat berada di dalam lingkaran.
  ⇒ Panjang diagonal: diag = d

Luas persegi 1:
⇒ L₁ = d²

Luas persegi 2:

• Anggap sebagai layang-layang:
  ⇒ L₁ = ½·d²
• Anggap sebagai gabungan dari 4 segitiga siku-siku sama kaki:
  ⇒ L₂ = 4·½·(½·d)² = 2·¼·d²
  ⇒ L₂ = ½d²

Maka, luas lingkaran dapat didekati dengan rata-rata dari L₁ dan L₂, yaitu:
L = ½(L₁ + L₂)
⇒ L = ½(d² + ½·d²)
⇒ L = (½ + ¼)·d²
⇒ L = (3/4)·d² = ¼·3·d²

Cara Kedua: Dengan Luas Layang-Layang

Dalam lingkaran, kita dapat menggambar sebuah segi-duabelas beraturan yang merupakan gabungan dari 6 layang-layang yang saling kongruen, dengan panjang kedua diagonalnya sama besar, yaitu sama dengan panjang jari-jari lingkaran, atau ½·d.

Maka, luas lingkaran dapat didekati dengan:
L = 6 × luas layang-layang
⇒ L = 6 × ½·(½·d)²
⇒ L = (3/4)·d² = ¼·3·d²

Kita juga dapat membagi lingkaran menjadi sebuah segi-duapuluhempat beraturan, yang merupakan gabungan dari 12 layang-layang yang kongruen, dengan panjang diagonal pertama = panjang jari-jari lingkaran = ½·d.

Panjang diagonal kedua (yang lebih pendek) adalah:
d₂ = (½·r) / sin[½(180° – 30°)]
⇒ d₂ = (¼·d) / sin(75°)
⇒ d₂ = (¼·d)/ [sin(45°)·cos(30°) + cos(45°·sin(30°)]
⇒ d₂ = (¼·d) / [sin(45°)·(cos(30°) + sin(30°))]
⇒ d₂ = (¼·d) / [½√2·(½√3 + ½)]
⇒ d₂ = (¼·d) / [¼(√6 + √2)]
⇒ d₂ = d / (√6 + √2)
⇒ d₂ = [d(√6 – √2)] / 4
⇒ d₂ = ¼·d(√6 – √2)
⇒ d₂ = ¼√2·d(√3 – 1)

Maka, luas lingkaran dapat didekati dengan:
L = 12 × luas layang-layang
⇒ L = 12 × ½·½·d·¼√2·d(√3 – 1)
⇒ L = (3/4)·d²√2(√3 – 1)
   ( √2(√3 – 1) ≈ 1,035 )
⇒ L ≈ (3/4)·d²·(1,035)
⇒ L ≈ ¼·(3,105)·d²

Dan tentunya masih ada cara lainnya yang dapat menghasilkan rumus pendekatan terhadap luas lingkaran yang dinyatakan hanya dengan panjang diameternya saja.