QUIZ (1400)Materi: Trigonometri Tentukan himpunan penyelesaian dari [tex] \dfrac{ 2-

Berikut ini adalah pertanyaan dari AdhidMGL pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZ (1400)Materi: Trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\dfrac{ 2- \sin x }{ \cos x } \geq \dfrac{ \cos x }{ \sin x }$ , untuk $0^{\circ} \leq x \leq \dfrac{ \pi }{ 2 }$ !

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian dari $\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx}~untuk~0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\left \{ x\Bigr|\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{2},~x\epsilon R \right \}} }$ .

PEMBAHASAN

Pertidaksamaan trigonometri merupakan suatu pertidaksamaan yang memuat fungsi trigonometri. Untuk mencari himpunan penyelesaiannya, kita perlu mencari pembuat nol fungsi terlebih dahulu menggunakan rumus:

$sinx=sinA^0,~maka:$

$x=A^0+K\times360^0~~atau~~x=(180-A)^0+K\times360^0$

$cosx=cosA^0,~maka:$

$x=A^0+K\times360^0~~atau~~x=-A^0+K\times360^0$

$tanx=tanA^0,~maka:$

$x=A^0+K\times180^0$

Lalu himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan.

DIKETAHUI

$\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx},~0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$

DITANYA

Tentukan himpunan penyelesaiannya.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}\geq \frac{cosx}{sinx} }$

$\displaystyle{\frac{2-sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}\geq 0 }$

$\displaystyle{\frac{(2-sinx)sinx-cos^2x}{sinxcosx}\geq 0 }$

$\displaystyle{\frac{2sinx-sin^2x-cos^2x}{sinxcosx}\geq 0 }$

$\displaystyle{\frac{2sinx-(sin^2x+cos^2x)}{sinxcosx}\geq 0}$

$\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx}\geq 0 }$

Cek pembuat nol fungsi.

Bagian pembilang :

$2sinx-1=0$

$2sinx=1$

$\displaystyle{sinx=\frac{1}{2} }$

$\displaystyle{x=\frac{\pi}{6} }$

Bagian penyebut :

$sinxcosx=0$

$sinx=0~atau~cosx=0$

$\displaystyle{x=0~atau~x=\frac{\pi}{2} }$

Cek menggunakan garis bilangan.

> Interval $\displaystyle{0\leq x\leq \frac{\pi}{6},~pilih~x=\frac{\pi}{12}:}$

$\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )-1}{sin\left ( \frac{\pi}{12} \right )cos\left ( \frac{\pi}{12} \right )} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{sin\left ( 15^{\circ} \right )cos\left ( 15^{\circ} \right )} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{\frac{1}{2}sin\left ( 2\times15 \right )^{\circ}} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 15^{\circ} \right )-1}{\frac{1}{2}sin\left ( 30^{\circ} \right )} }$

$-----------$

$sin15^{\circ}=sin(45-30)^{\circ}$

$sin15^{\circ}=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}$

$\displaystyle{sin15^{\circ}=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )-\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right ) }$

$\displaystyle{sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} }$

$-----------$

$\displaystyle{=\frac{2\left ( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right )-1}{\frac{1}{4}} }$

$\displaystyle{=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2}}{\frac{1}{4}} }$

$\displaystyle{=2(\sqrt{6}-\sqrt{4}-2)~\to~negatif }$

> Interval $\displaystyle{\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{\pi}{2},~pilih~x=\frac{\pi}{3}:}$

$\displaystyle{\frac{2sinx-1}{sinxcosx} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )-1}{sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )} }$

$\displaystyle{=\frac{2sin\left ( 60^{\circ} \right )-1}{sin\left ( 60^{\circ} \right )cos\left ( 60^{\circ} \right )} }$

$\displaystyle{=\frac{2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )-1}{\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )} }$

$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{\sqrt{3}}{4}}~\to~positif }$

Diperoleh garis bilangan sebagai berikut :

$o---o+++o$

$\displaystyle{0~~~~~~~~~\frac{\pi}{6}~~~~~~~~\frac{\pi}{2} }$

Karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, pilih daerah bertanda +++, yaitu $\displaystyle{\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{2} }$ .

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

Pertidaksamaan trigonometri : yomemimo.com/tugas/37966277
Pertidaksamaan trigonometri : yomemimo.com/tugas/37073190
Persamaan trigonometri : yomemimo.com/tugas/34382463

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Trigonometri

Kode Kategorisasi: 10.2.7

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 04 Aug 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah