UN 2004 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P

Berikut ini adalah pertanyaan dari Syubbana pada mata pelajaran Ujian Nasional untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

UN 2004Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah ... cm
a. √14
b. 9√2
c. 8√2
d. 7√2
e. 3√6

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CGsehinggaCP = 2CG.
Panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah 8√2 cm.
___________________

Pembahasan

Jika kita berbicara mengenai panjang ruas garis, dengan informasi CP = 2CG, titik P dapat berada "di atas" titik G atau "di bawah" titik C.
Jadi, asumsinya adalah CP = 2CG juga menyatakan panjang ruas garis berarahnya, sehingga P terletak "di atas" titik G. Walaupun begitu, pada kemungkinan kedua, jika kita selesaikan, panjang proyeksi yang diperoleh akan sama besar, dengan memperluas bidang BDP ke bagian bawah kubus (dengan asumsi ABCD adalah bidang dasar kubus).

Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan setidaknya dua cara. Kita mulai dari yang "sepertinya" mudah dulu.

Cara Pertama: Dengan Trigonometri

Misalkan:

O adalah titik tengah bidang ABCD, dan
X adalah proyeksi titik C ke bidang BDP

maka CX ⊥ BDP, CX ⊥ OP, dan ΔCOP adalah segitiga siku-siku.

Panjang CX dapat ditentukan dengan perbandingan cosinus pada sudut CPX, yang sama dengan sudut CPO, sehingga berlaku:

$\begin{aligned}\frac{|CX|}{|CP|}&=\frac{|CP|}{|OP|}\\|CX|&=\frac{|CP|^2}{|OP|}=\frac{|CP|^2}{\sqrt{|CP|^2+|CO|^2}}\\&=\frac{\left(2|CG|\right)^2}{\sqrt{\left(2|CG|\right)^2+|CO|^2}}\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&|CO|=\frac{1}{2}|CG|\sqrt{2}\\&\Rightarrow |CO|^2=\frac{1}{2}|CG|^2\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}|CX|&=\frac{4|CG|^2}{\sqrt{4|CG|^2+\dfrac{1}{2}|CG|^2}}\\&=\frac{4|CG|^2}{\sqrt{\dfrac{9}{2}|CG|^2}}=\frac{4|CG|^2}{\left(\dfrac{3|CG|}{\sqrt{2}}\right)}\\&=\frac{4\sqrt{2}\cdot|CG|}{3}\\&=\frac{4\sqrt{2}\cdot6}{3}=4\sqrt{2}\cdot2\\|CX|&=\boxed{\vphantom{\big|}\bf\,8\sqrt{2}\ cm\,}\end{aligned}$

___________________

Cara Kedua: Vektor

Misalkan:

O adalah titik tengah bidang ABCD, dan
X adalah proyeksi titik C ke bidang BDP

maka:

CX ⊥ BDP,
$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO}$ , dan
$\overrightarrow{PX}$ adalah proyeksi ortogonal dari vektor $\overrightarrow{PC}$ pada vektor $\overrightarrow{PO}$ .

Panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ adalahpanjang proyeksi CP ke bidang BDP.

Misalkan pula:

panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $r$ ,
AB, CD, EF, dan GH sejajar sumbu X,
BC, AD, FG, dan EH sejajar sumbu Y, dan
AE, BF, CG, dan DH sejajar sumbu Z.

maka:

$\begin{aligned}\overrightarrow{PC}&=2\overrightarrow{GC}=(0,0,-2r)\\\overrightarrow{PO}&=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO}\\&=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\\&=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)\\&=(0,0,-2r)+\frac{1}{2}\left((0,-r,0)+(-r,0,0)\right)\\&=(0,0,-2r)+\frac{1}{2}\left(-r,-r,0\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)\end{aligned}$

Panjang vektor $\overrightarrow{PO}$ dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PO}\right|&=\left|\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)\right|\\&=\sqrt{2\cdot\left(-\frac{1}{2}r\right)^2+(-2r)^2}\\&=\sqrt{2\cdot\frac{1}{4}r^2+4r^2}\\&=\sqrt{\frac{1}{2}r^2+4r^2}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}r^2}\\\left|\overrightarrow{PO}\right|&=\frac{3r}{\sqrt{2}}\end{aligned}$

Panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ , yang merupakan proyeksi ortogonal dari vektor $\overrightarrow{PC}$ pada vektor $\overrightarrow{PO}$ , dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PX}\right|&=\left|\frac{\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PO}}{\left|\overrightarrow{PX}\right|}\right|\\&=\left|\frac{(0,0,-2r)\cdot\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)}{3r/\sqrt{2}}\right|\\&=\left|\frac{\left(0,0,4r^2\right)\cdot\sqrt{2}}{3r}\right|\\&=\left|\left(0,0,\frac{4\sqrt{2}}{3}r\right)\right|\\&=\frac{4\sqrt{2}}{3}r\\\end{aligned}$

Dengan $r$ = 6 cm, panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ , yang juga merupakan panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PX}\right|&=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot6\\&=4\sqrt{2}\cdot2\\&=\boxed{\vphantom{\big|}\bf\,8\sqrt{2}\ cm\,}\end{aligned}$
___________________