1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1+2+4+...+ 2 ^ n = 2 ^ (n + 1)

Berikut ini adalah pertanyaan dari putriwinata037 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1+2+4+...+ 2 ^ n = 2 ^ (n + 1) - 1 untuk setiap bilangan bulat n≥0​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1+2+4+{\dots}+2^n=2^{n+1}-1untuk setiap bilangan bulatn \ge 0 terbukti benarberdasarkan pembuktian denganinduksi matematika.
 

Penjelasan

Kita akan membuktikan bahwa 1+2+4+{\dots}+2^n=2^{n+1}-1untuk setiap bilangan bulatn \ge 0.
Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk n = 0, 1 = 2^{1}-1merupakanpernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Untuk n = k, yaitu 1+2+4+{\dots}+2^k=2^{k+1}-1 diandaikan benar.

Langkah 3: Langkah Induksi

Kita perlu menunjukkan/membuktikan bahwa untuk n = k+1, yaitu
\begin{aligned}1+2+4+{\dots}+2^k+2^{k+1}=2^{k+2}-1\end{aligned}
juga merupakan pernyataan yang benar.

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\!\!\! \underbrace{1+2+4+{\dots}+2^k}_{\begin{matrix}2^{k+1}-1\ (\textsf{dari asumsi})\end{matrix}}\!\!+\,2^{k+1}\\&{=\ }2^{k+1}-1+2^{k+1}\\&{=\ }2\cdot2^{k+1}-1\\&{=\ }2^{k+1+1}-1\\&{=\ }2^{k+2}-1\\&{=\ } \textsf{Ruas kanan.}\end{aligned}
Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan tersebut benar pula untuk n = k+1.

KESIMPULAN

Ketiga langkah di atas telah terbukti benar. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa
\begin{aligned}1+2+4+{\dots}+2^n=2^{n+1}-1\end{aligned}
untuk setiap bilangan bulat n \ge 0 terbukti benar berdasarkan pembuktian dengan induksi matematika.
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 19 May 23
<< Previous Post
Next Post >>