Jawaban:

persamaan kuadrat yaitu y = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a merupakan koefisien dari x2, b merupakan koefisien dari x, sedangkan c adalah koefisien konstanta atau biasa disebut juga suku bebas.

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai pengganti tersebut mengubah kalimat terbuka (persamaan kuadrat) menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan (menemukan akar-akar) dari persamaan kuadrat di antaranya dengan cara berikut.

a. Memfaktorkan

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

c. Menggunakan rumus abc

Contoh:

1) Selesaikan persamaan kuadrat berikut

a) x2 + 8x + 15 = 0 (dengan pemfaktoran)

b) x2 – 4x – 12 = 0 (dengan melengkapkan kudrat sempurna)

c) – x2 + x + 2 = 0 (dengan rumus abc)

Jawab:

a) x2 + 8x + 15 = 0

(x + 3) (x + 5) = 0

x + 3 = 0 atau x + 5 = 0

x = –3 atau x = –5

Jadi, HP = { –3, –5)

b) x2 – 4x –12 = 0

x2 – 4x = 12

x2 – 4x + 4 = 12 + 4

(x – 2)2 = 16

x – 2 = ± √16

x – 2 = ± 4

x = 2 + 4 atau x = 2 – 4

= 6 =–2

Jadi, HP = { –2, 6 }

c) –x2 + x + 2 = 0

a = –1, b = 1, c = 2

capture

Jadi, HP { –1, 2}

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar persamaan

1

nilai b2 – 4ac disebut diskriminan (D).

D = b2 – 4ac dapat membedakan jenis-jenis akar persamaan kuadrat satu dengan yang lain.

D > 0, persamaanax2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar real dan berbeda.

D = 0, persamaan ax2+ bx + c = 0 mempunyai dua akar yang kembar dan real.

D < 0, persamaan ax2+ bx + c = 0 mempunyai dua akar yang imaginer (tidak mempunyai persamaan akar real).

Contoh:

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kudrat berikut:

a) x2– 3x – 4 = 0 b) 2x2 – 12x + 18 = 0 c) 2x2 – x +3 = 0

Jawab:

a) x2– 3x – 4 = 0

a =1, b = –3, c = –4

D = b2 – 4ac

= (–3)2 –4 ∙ 1 ∙ ( –4)

= 9 + 6

=25 > 0

Jadi, persamaan di atas mempunyai dua akar real berbeda.

b) 2x2– 12x + 18 = 0

a = 2, b = –12, c = 18

D = b2 – 4ac

= (–12)2 – 4 ∙ 2 ∙ 18

= 144 – 144

= 0

Jadi, persamaan di atas mempunyai dua akar kembar.

c) 2x2– x +3 = 0

a = 2, b = –1, c = 3

D = b2 – 4ac

= (–1)2 – 4 ∙ 2 ∙ 3

= 1 – 24

= – 23 < 0

Jadi, persamaan di atas mempunyai akar real.

2. Persamaan x2+ px + 4 = 0, tentukan p sehingga persamaan di tersebut mempunyai akar kembar.

Jawab:

Syarat: D = 0

a = 1, b = p, c =

p2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0

p2 – 16 = 0

p2 = 16

p = ± 4

Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, berhubungan erat dengan koefisien a, b, dan c.

Misal x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat di atas maka:

capture2

Contoh:

1. Jika X1 dan X2 akar-akar persamaan x2 – 6x + 3 = 0, tentukan nilai-nilai berikut:

a) x1 + x2 b) x1 ∙ x2 c) x1 – x2 d) x14 –x24

capture3

Jawab:

a = 1, b = 6, c = 3

Capture4.JPG

Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah sebagai berikut:

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

Rumus Praktis: x2 – (jumlah akar-akar)x + hasil kali akar-akar = 0

a. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya k kurang dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 adalah:

a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0

b. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya k lebih dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 adalah:

a(x – k)2 + b(x – k) + c = 0

c. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya n kali dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 adalah:

cx2 + bnx + cn2 = 0

d. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berkebalikan dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 adalah:

cx2 + bx + a = 0

e. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 adalah:

ax2 – bx + c = 0

f. Persaman kuadrat yang akar-akarnya p2 dan q2 dari:

Persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 yang akar-akarnya p dan q adalah:

a2x2 – (b2 – 2ac) x + c2 = 0

Contoh:

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya:

a) –2 dan 5 b) 3 + √2 dan 3 – √2

Jawab:

a) x1 = –2

x2 = 5

x1 + x2 = –2 + 5 = 3

x1 ∙ x2 = –2 ∙ 5 = –10

Persamaan kuadrat

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – 3x – 10 = 0

b) x1 = 3 + √2

x2 = 3 – √2

x1 + x2 = 3 + √2 + 3 – √2 = 6

x1 ∙ x2 = (3 + √2) ∙ (3 – √2) = 9 – 2 = 7

Persamaan kuadrat

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – 6x – 7 = 0