Jawaban:

Untuk menentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik Y = x^3 - 9x^2 + 15x + 40, pertama-tama kita perlu mencari turunan pertama (f'(x)) dari fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah:

f'(x) = 3x^2 - 18x + 15

Kemudian, kita perlu mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan f'(x) = 0, yaitu:

3x^2 - 18x + 15 = 0

Dengan menggunakan rumus quadratic, kita dapat mencari akar-akar persamaan tersebut:

x1 = 3 dan x2 = 5

Nilai-nilai x tersebut merupakan titik-titik belok dari fungsi tersebut. Selanjutnya, kita perlu menentukan apakah titik-titik tersebut merupakan titik ekstrim atau tidak. Untuk menentukannya, kita perlu menghitung turunan kedua (f''(x)) dari fungsi tersebut:

f''(x) = 6x - 18

Jika f''(x) > 0 pada sekitar titik belok, maka titik belok tersebut merupakan titik ekstrim minimum. Sebaliknya, jika f''(x) < 0 pada sekitar titik belok, maka titik belok tersebut merupakan titik ekstrim maksimum.

Jika f''(x) = 0 pada sekitar titik belok, maka titik belok tersebut merupakan titik ekstrim tidak terdefinisi.

Jadi, kita perlu mengevaluasi f''(x) pada titik-titik belok yang telah kita temukan:

f''(3) = 6*3 - 18 = 0

f''(5) = 6*5 - 18 = 12

Karena f''(3) = 0, maka titik belok x = 3 merupakan titik ekstrim tidak terdefinisi.

Karena f''(5) > 0, maka titik belok x = 5 merupakan titik ekstrim minimum.

Jadi, titik ekstrim dari fungsi Y = x^3 - 9x^2 + 15x + 40 adalah x = 5 dengan titik ekstrim minimum, dan x = 3 dengan titik ekstrim tidak terdefinisi. Titik-titik belok dari fungsi tersebut adalah x = 3 dan x = 5.