Jawab:

Diketahui persamaan a! + b! = c!.

Untuk mencari solusi dari persamaan tersebut, kita bisa melakukan analisis kasus-kasus berikut:

Kasus 1: a = 1

Jika a = 1, maka persamaan tersebut menjadi 1 + b! = c!. Dalam hal ini, nilai b haruslah prima, karena jika b bukan prima, maka faktorial b akan memiliki faktor 2 yang sama dengan faktorial 1, sehingga tidak mungkin untuk memenuhi persamaan tersebut. Jadi, untuk kasus ini, kita dapat mencari solusi dengan mencoba semua nilai prima b dan c yang mungkin, kemudian mencari nilai a yang sesuai.

Kasus 2: a > 1

Jika a > 1, maka kita dapat menuliskan persamaan a!(1 + b(b-1)...2x1) = c(c-1)...2x1. Karena b prima, maka b dan b-1 adalah relatif prima, sehingga faktorial b hanya akan memiliki faktor prima yang berbeda dengan faktorial a dan c. Oleh karena itu, untuk memenuhi persamaan tersebut, haruslah terdapat satu pasangan prima yang sama di antara faktorial a dan c. Jika tidak, maka faktorial a dan c tidak mungkin menghasilkan nilai yang sama saat dikalikan dengan faktorial b. Dalam hal ini, kita dapat mencari solusi dengan mencoba semua nilai pasangan prima a dan c yang mungkin, kemudian mencari nilai b yang sesuai.

Solusi dari persamaan a! + b! = c! tidak tak hingga, karena terdapat batas atas nilai dari a, b, dan c yang mungkin. Misalnya, jika kita membatasi nilai dari a, b, dan c hingga 10, maka kita hanya perlu mencoba sejumlah nilai yang terbatas untuk mendapatkan solusi dari persamaan tersebut.

Untuk membuktikan bahwa solusi tidak tak hingga, kita dapat menggunakan sifat bahwa faktorial dari suatu bilangan tumbuh sangat cepat. Misalnya, jika kita membatasi nilai dari a, b, dan c hingga 10, maka nilai faktorial maksimum yang mungkin adalah 10!, yang memiliki nilai sebesar 3.628.800. Jika kita ingin mencari solusi dengan nilai faktorial yang lebih besar, misalnya 100!, maka kita akan membutuhkan perhitungan yang sangat rumit dan waktu yang lama. Oleh karena itu, solusi dari persamaan a! + b! = c! tidak tak hingga.

Penjelasan dengan langkah-langkah: