tolong dijawab secepatnya! isi caranya yang lengkap

Berikut ini adalah pertanyaan dari mwahyumadani245 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tolong dijawab secepatnya! isi caranya yang lengkap

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika akar-akar persamaan kuadrat x² - 2x - 6 = 0 adalah p dan q, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(1 \:+\: \frac{p}{q} \:+\: \frac{q}{p})$ dan $\frac{1}{p^2} \:+\: \frac{1}{q^2}$ adalah

A. 27x² + 33x - 20 = 0

C. 9x² + 27x - 20 = 0

D. 9x² - 27x + 20 = 0

Persamaan kuadrat baru yang terbentuk adalah 27x² + 33x - 20 = 0. Jawaban A.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

PK : x² - 2x - 6 = 0
Akar-akarnya p dan q.
PK Baru akar-akarnya α dan β
α = $(1 \:+\: \frac{p}{q} \:+\: \frac{q}{p})$
β = $\frac{1}{p^2} \:+\: \frac{1}{q^2}$

Ditanyakan:

PK baru?

Jawaban:

Dari PK x² - 2x - 6 = 0

a = 1
b = - 2
c = - 6
p + q = $\frac{- b}{a} \:=\: \frac{- (- 2)}{1}$
p + q = 2
pq = $\frac{c}{a} \:=\: \frac{- 6}{1}$
pq = - 6

Menentukan p² + q².

(p + q)² = p² + 2pq + q²
p² + q² = (p + q)² - 2pq
p² + q² = $2^2 \:-\: 2 \times (- 6)$
p² + q² = $4 \:-\: (- 12)$
p² + q² = $4 \:+\: 12$
p² + q² = 16

Menentukan nilai akar-akar PK baru.

α = $(1 \:+\: \frac{p}{q} \:+\: \frac{q}{p})$
α = $(1 \:+\: \frac{p^2}{pq} \:+\: \frac{q^2}{pq})$
α = $(1 \:+\: \frac{p^2 \:+\: q^2}{pq})$
α = $(1 \:+\: \frac{16}{- 6})$
α = $(\frac{3}{3} \:-\: \frac{8}{3})$
α = $- \frac{5}{3}$
β = $\frac{1}{p^2} \:+\: \frac{1}{q^2}$
β = $\frac{q^2}{p^2 q^2} \:+\: \frac{p^2}{p^2 q^2}$
β = $\frac{p^2 \:+\: q^2}{pq^2}$
β = $\frac{16}{(- 6)^2}$
β = $\frac{16}{36}$
β = $\frac{4}{9}$

Menentukan PK baru.

Jumlah kedua akar baru.
α + β = $- \frac{5}{3} \:+\: \frac{4}{9}$
α + β = $- \frac{15}{9} \:+\: \frac{4}{9}$
α + β = $- \frac{11}{9}$
Perkalian kedua akar
αβ = $- \frac{5}{3} \times \frac{4}{9}$
αβ = $- \frac{20}{27}$
PK baru
x² - (α + β) x + αβ = 0
$x^2 \:-\: (- \frac{11}{9}) \:+\: (- \frac{20}{27}) \:=\: 0$
$x^2 \:+\: \frac{11}{9} \:-\: \frac{20}{27} \:=\: 0$
Kali dengan 27 supaya tidak berbentuk pecahan.
$27x^2 \:+\: 27 \times \frac{11}{9} \:-\: 27 \times \frac{20}{27} \:=\: 0 \times 27$
$27x^2 \:+\: 3 \times \frac{11}{1} \:-\: \frac{20}{1} \:=\: 0$
27x² + 33x - 20 = 0
Jawaban A.