f(x) = 2x⁴ – 2x² memiliki nilai-nilai stasioner sebagai berikut:

• –½di titik(–½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (½√2, –½) adalah titik balik minimum pertama,
• 0di titik(0, 0), berjenis: maksimum, sehingga (0, 0) adalah titik balik maksimum, dan
• –½di titik(½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (–½√2, –½) adalah titik balik minimum kedua.

Pembahasan

Nilai Stasioner dan Jenisnya

Diberikan fungsi: f(x) = 2x⁴ – 2x²

f(x) stasioner ketika f'(x) = 0.
⇒ f'(x) = 0
⇒ (2x⁴ – 2x²)' = 0
⇒ [2(x⁴ – x²)]' = 0
⇒ 2(x⁴ – x²)' = 0
⇒ (x⁴ – x²)' = 0
⇒ 4x³ – 2x = 0
⇒ 2x(2x² – 1) = 0
⇒ 2x = 0,  2x² = 1
⇒ x = 0,  x² = ½
⇒ x = 0,  x = ±√½
⇒ x = 0,  x = ±½√2
⇒ x = 0,  x = ½√2,  x = –½√2

Nilai stasioner untuk ketiga absis tersebut:

• f(0) = 0

• f(½√2) = 2(½√2)⁴ – 2(½√2)²
  ⇒ f(½√2) = 2(1/4) – 2(½)
  ⇒ f(½√2) = ½ – 1
  ⇒ f(½√2) = –½

• f(–½√2) = f(½√2) karena perpangkatannya genap.
  ⇒ f(–½√2) = –½

Menentukan jenis nilai dan titik stasioner

Turunan kedua dari f(x):
f''(x) = (2x⁴ – 2x²)''
⇒ f''(x) = [2(4x³ – 2x)]'
⇒ f''(x) = 2(4x³ – 2x)'
⇒ f''(x) = 2(12x² – 2)
⇒ f''(x) = 24x² – 4

• Untuk x = 0 di titik (0, 0):
  f''(0) = –4
  ⇒ f''(0) < 0
  ⇒ Jenis nilai stasioner: maksimum
  ⇒ Titik (0,0) adalah titik balik maksimum.

• Untuk x = ½√2 di titik (½√2, –½):
  f''(½√2) = 24(½√2)² – 4 = 24(½) – 4 = 8
  ⇒ f''(½√2) > 0
  ⇒ Jenis nilai stasioner: minimum
  ⇒ Titik (½√2, –½) adalah titik balik minimum.

• Untuk x = –½√2 di titik (–½√2, –½):
  f''(–½√2) = f''(½√2) = 8  (karena perpangkatannya genap)
  ⇒ f''(–½√2) > 0
  ⇒ Jenis nilai stasioner: minimum
  ⇒ Titik (–½√2, –½) adalah titik balik minimum.