Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan kriteria keputusan optimal yang meminimumkan maksimum antara Kesalahan Tipe 1 dan Tipe 2, kita perlu menentukan probabilitas Kesalahan Tipe 1 dan Tipe 2 terlebih dahulu.

Kesalahan Tipe 1 terjadi ketika kita menolak hipotesis nol yang sebenarnya benar, sedangkan Kesalahan Tipe 2 terjadi ketika kita gagal menolak hipotesis nol yang sebenarnya salah. Dalam konteks ini, hipotesis nol adalah bahwa rata-rata populasi dua kelompok sama, sedangkan hipotesis alternatif adalah bahwa rata-rata populasi dua kelompok berbeda.

Untuk menentukan probabilitas Kesalahan Tipe 1 dan Tipe 2, kita perlu menentukan nilai ambang batas keputusan (atau nilai kritis) yang akan memisahkan kedua hipotesis. Dalam pengujian hipotesis ini, kita dapat menggunakan uji z untuk sampel besar atau uji t untuk sampel kecil.

Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan uji z karena deviasi standar populasi diketahui. Ambang batas keputusan dapat ditentukan dengan menggunakan nilai kritis dari distribusi normal standar (z-score) berdasarkan level signifikansi (α) yang ditetapkan.

Untuk α = 0,05, nilai kritis adalah ±1,96. Oleh karena itu, jika nilai uji z lebih besar dari 1,96 atau lebih kecil dari -1,96, kita dapat menolak hipotesis nol dan menyimpulkan bahwa rata-rata populasi dua kelompok berbeda.

Probabilitas Kesalahan Tipe 1 dapat dihitung sebagai probabilitas menolak hipotesis nol ketika sebenarnya benar, yaitu P(Type 1 Error) = α. Sedangkan probabilitas Kesalahan Tipe 2 tergantung pada ukuran sampel, perbedaan rata-rata populasi, dan deviasi standar populasi.

Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus berikut untuk menghitung probabilitas Kesalahan Tipe 2:

P(Type 2 Error) = β = P(Tidak Menolak H0 | H0 Salah) = P(|z| < Zα/2 - Zβ) = Φ(Zα/2 - Zβ) - Φ(-Zα/2 - Zβ)

di mana Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar dan Zβ adalah z-score untuk nilai kritis yang sesuai dengan tingkat kekuatan (1-β) yang diinginkan.

Dalam hal ini, kita ingin meminimalkan maksimum antara Kesalahan Tipe 1 dan Tipe 2. Oleh karena itu, kita dapat memilih nilai α dan β yang sesuai untuk mencapai tujuan tersebut.

Untuk kasus n = 1, kita dapat menggunakan uji z satu sisi karena hanya satu pengamatan yang tersedia. Dalam hal ini, kita dapat menentukan ambang batas keputusan dengan menggunakan z-score yang sesuai dengan level signifikansi α yang diinginkan (α = 0,05).

z = (x̄ - μ0) / (σ/√n) = (x̄ - μ0) / σ