Untuk menentukan bayangan titik P(4 , -6 √3) jika diputar sejauh 1/3 putaran berlawanan arah jarum jam dengan pusat O (0,0), pertama-tama kita perlu menghitung sudut putaran yang diperlukan. Dalam hal ini, 1/3 putaran berlawanan arah jarum jam sama dengan -120 derajat.

Setelah mengetahui sudut putaran, kita dapat menggunakan rumus rotasi untuk menentukan koordinat titik P setelah diputar. Rumus rotasi untuk memutar titik P(x,y) sejauh θ derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) adalah:

x' = x * cos(θ) + y * sin(θ)

y' = -x * sin(θ) + y * cos(θ)

Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung koordinat titik P setelah diputar sejauh -120 derajat:

x' = 4 * cos(-120) + (-6 √3) * sin(-120) = -4 * -0.5 + -6 * -0.866 = 2 + 5.196 = 7.196

y' = -4 * sin(-120) + (-6 √3) * cos(-120) = -4 * -0.866 - 6 * -0.5 = -3.464 - 3 = -6.464

Jadi, koordinat titik P setelah diputar sejauh 1/3 putaran berlawanan arah jarum jam adalah P'(7.196, -6.464). Ini adalah bayangan titik P(4, -6 √3) setelah diputar.