Jawab:

13. Untuk mencari nilai a, kita harus mencari nilai input dari fungsi gabungan (fog) yang menghasilkan output 25. Kita dapat menggunakan rumus (fog)(x) = f(g(x)) untuk menyelesaikan masalah ini. Dengan demikian, dapat dituliskan:

(fog)(a) = f(g(a)) = f(1 - 3a) = (1 - 3a)² = 9a² - 6a + 1

Kita perlu mencari nilai a sehingga 9a² - 6a + 1 = 25. Dengan mentransposisi, diperoleh:

9a² - 6a - 24 = 0

Dengan membagi kedua ruas dengan 3, diperoleh:

3a² - 2a - 8 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar persamaan kuadrat ini, yaitu:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Dalam hal ini, a = 3, b = -2, dan c = -8. Substitusikan nilainya ke dalam rumus kuadrat, maka:

a = (-(-2) ± √((-2)² - 4(3)(-8))) / 2(3)

a = (2 ± √100) / 6

a = (2 ± 10) / 6

Maka nilai a yang memenuhi (fog)(a) = 25 adalah:

a = (2 + 10) / 6 = 2

atau

a = (2 - 10) / 6 = -1

Jadi, nilai a yang memenuhi persamaan (fog)(a) = 25 adalah a = 2 atau a = -1.

14. Untuk mencari nilai a yang memenuhi persamaan (fog)(a) = (gof)(a), kita perlu menentukan terlebih dahulu fungsi gabungan f(g(x)) dan g(f(x)). Dengan memanfaatkan rumus f(g(x)) = f(2x - 4) dan g(f(x)) = 2(f(x)) - 4, maka:

f(g(x)) = f(2x - 4) = 3 / (2x - 4)

g(f(x)) = 2(f(x)) - 4 = 2(3/x) - 4 = 6/x - 4

Selanjutnya, kita dapat menentukan (fog)(a) dan (gof)(a), yaitu:

(fog)(a) = f(g(a)) = 3 / (2a - 4)

(gof)(a) = g(f(a)) = 2(3/a) - 4 = 6/a - 4

Karena (fog)(a) = (gof)(a), maka:

3 / (2a - 4) = 6/a - 4

Dengan mengalikan kedua ruas dengan a(2a - 4), diperoleh:

3a = (2a - 4)(6 - 4a)

Dengan mengalikan kedua ruas dan menyederhanakan, diperoleh persamaan kuadrat:

2a² - 7a + 6 = 0

Kita dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadrat, yaitu:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Dalam hal ini, a = 2, b = -7, dan c = 6. Substitusikan nilainya ke dalam rumus kuadrat, maka:

a = (7 ± √(49 - 4(2)(6))) / 4

a = (7 ± √25) / 4

Maka nilai a yang memenuhi persamaan (fog)(a) = (gof)(a) adalah:

a = (7 + 5) / 4 = 3

atau

a = (7 - 5) / 4 = 1/2

Jadi, nilai a yang memungkinkan adalah a = 3 atau a = 1/2.