Tentukan nilai n jika diketahui p(n+1,3)=p(n,4)

Terdapat beberapa definisi yang mungkin untuk simbol p(n,m), namun salah satu yang umum adalah sebagai notasi untuk fungsi partisi atau jumlah partisi. Jika asumsi tersebut benar, maka solusi untuk nilai n dapat dicari dengan memanfaatkan sifat-sifat dari fungsi partisi.

Salah satu sifat penting dari fungsi partisi adalah rekursi, yaitu hubungan antara nilai fungsi partisi untuk suatu bilangan bulat dengan nilai fungsi partisi untuk bilangan bulat yang lebih kecil. Dalam hal ini, kita dapat memanfaatkan rumus rekursif untuk fungsi partisi seperti berikut:

p(n,1) = 1, untuk setiap n ≥ 0
p(n,m) = 0, untuk setiap n < 0 atau m < 1
p(n,m) = p(n,m-1) + p(n-m,m), untuk setiap n,m ≥ 1 dengan n ≥ m

Dari persamaan yang diberikan, kita dapat menulis:

p(n+1,3) = p(n,4)

Kita dapat menggunakan rumus rekursif untuk menghitung kedua sisi persamaan ini. Pertama, untuk sisi kiri, kita dapat menuliskan:

p(n+1,3) = p(n+1,2) + p(n-2,3)

Kedua, untuk sisi kanan, kita dapat menuliskan:

p(n,4) = p(n,3) + p(n-4,4)

Karena p(n,3) = p(n-1,3) + p(n-3,3) dan p(n-2,3) = p(n-3,3) + p(n-5,3), maka persamaan awal dapat dituliskan ulang sebagai:

p(n+1,2) + p(n-3,3) = p(n,3) + p(n-4,4)

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus rekursif untuk p(n,3) dan p(n-4,4), persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai:

p(n+1,2) + p(n-3,2) + p(n-4,3) = p(n-1,3) + p(n-7,4)

Karena p(n-1,3) = p(n-2,3) + p(n-4,3) dan p(n-3,2) = p(n-4,2) + p(n-6,2), maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai:

p(n+1,2) + p(n-4,2) + p(n-6,2) = p(n-2,3) + p(n-4,3) + p(n-7,4)

Karena p(n+1,2) = p(n+1,1) + p(n,2) dan p(n-4,2) = p(n-4,1) + p(n-5,2), maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai:

p(n+1,1) + p(n,2) + p(n-4,1) + p(n-6,2) = p(n-2,3) + p(n-4,3) + p(n-7,4)

Karena p(n+1,1) = 1 dan p(n-4,1) = 1, maka persamaan di atas dapat diseder