Jawab:

Untuk menentukan jarak minimum antara titik asal 0(0,0,0) dan permukaan z² = xy-6x+21, kita dapat menggunakan metode gradien.

Pertama-tama, kita tulis fungsi jarak F(x, y, z) dari titik asal ke permukaan tersebut:

F(x, y, z) = √(x² + y² + z²)

Kemudian, kita cari gradien dari fungsi z² = xy-6x+21:

∇(z²) = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) z² = (y-6, x, 0)

Karena permukaan yang diberikan adalah z² = xy-6x+21, maka gradien pada titik (x, y, z) akan menjadi:

∇(z² = xy-6x+21) = (y-6, x, 0)

Kita ingin mencari titik di permukaan tersebut yang memberikan jarak minimum ke titik asal 0(0,0,0). Karena jarak minimum terjadi saat garis normal permukaan menyentuh titik asal, maka kita bisa menggunakan persamaan dot product untuk mencari titik tersebut.

Diketahui gradien permukaan pada titik (x, y, z) adalah (y-6, x, 0), maka vektor normal pada titik tersebut adalah (-x, -y, z-xy+6x-21). Kemudian, agar garis normal tersebut menyentuh titik asal, maka dot product dari vektor normal dan vektor OA (OA adalah vektor dari titik asal ke titik di permukaan) harus nol, yaitu:

(-x, -y, z-xy+6x-21) ⋅ (x, y, z) = 0

Dari persamaan di atas, kita dapat menyusun sistem persamaan:

- x² + y² + z(z-xy+6x-21) = 0  (1)

- x² + y² + z² = d²             (2)

Kita ingin mencari nilai d² minimum, sehingga kita dapat menggunakan persamaan (1) untuk mencari z sebagai fungsi dari x dan y, lalu substitusikan hasilnya ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan f(x,y) sebagai fungsi dari x dan y:

f(x,y) = x² + y² + (xy-6x+21)² / (x² + y² + 1)

Untuk mencari nilai minimum dari f(x,y), kita cari titik kritisnya, yaitu:

∇f(x,y) = (2x - 2(xy-6x+21)(y-6)/(x²+y²+1)^2, 2y - 2(xy-6x+21)x/(x²+y²+1)^2) = (0,0)

Dari sini, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan untuk mencari nilai x dan y:

2x - 2(xy-6x+21)(y-6)/(x²+y²+1)^2 = 0

2y - 2(xy-6x+21)x/(x²+y²+1)^2 = 0

Setelah diselesaikan, d

Penjelasan dengan langkah-langkah:

KAGAK NGOTAK YA ALLAH