Soal Matematika Materi : Turunan eksponen_______________________[tex]y = 3x {}^{2x {}^{2}

Berikut ini adalah pertanyaan dari faisJkurma pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Soal MatematikaMateri : Turunan eksponen
_______________________
$y = 3x {}^{2x {}^{2} + 3x + 1}$
Turunan kedua?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Turunan kedua dari fungsi $y=3x^{2x^2+3x+1}$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{y''=3x^{2x^2+3x+1}\left \{ \left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ]^2+\frac{4x^2lnx+6x^2+3x-1}{x^2} \right \}} }$ .

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Rumus yang berlaku untuk turunan adalah sebagai berikut :

$(i)~y=ax^k~~\to~~y'=kax^{k-1}$

$(ii)~y=u+v~~\to~~y'=u'\pm v'$

$(iii)~y=uv~~\to~~y'=u'v+uv'$

$\displaystyle{(iv)~y=\frac{u}{v}~~\to~~y'=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

Untuk fungsi eksponen, turunannya dapat dicari dengan menambahkan fungsi logaritma natural dilanjutkan dengan menggunakan turunan implisit. Dengan :

$\displaystyle{y=ln(f(x))~\to~y'=\frac{f'(x)}{f(x)} }$

DIKETAHUI

$y=3x^{2x^2+3x+1}$

DITANYA

Tentukan turunan kedua dari fungsi y.

PENYELESAIAN

> Mencari turunan pertama fungsi y.

$y=3x^{2x^2+3x+1}$

$lny=ln\left ( 3x^{2x^2+3x+1} \right )$

$lny=ln3+ln\left ( x^{2x^2+3x+1} \right )$

$lny=ln3+(2x^2+3x+1)lnx~~~...turunkan~kedua~ruas~terhadap~x$

$\displaystyle{\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=0+(4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=y\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ] }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=3x^{2x^2+3x+1}\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ] }$

> Mencari turunan kedua fungsi y.

Misal :

$u=3x^{2x^2+3x+1}$

$\displaystyle{u'=3x^{2x^2+3x+1}\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ] }$

$\displaystyle{v=(4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} }$

$\displaystyle{v'=4lnx+\frac{4x+3}{x}+\frac{(4x+3)x-(2x^2+3x+1)(1)}{x^2} }$

$\displaystyle{v'=4lnx+\frac{4x+3}{x}+\frac{4x^2+3x-2x^2-3x-1}{x^2} }$

$\displaystyle{v'=4lnx+\frac{4x+3}{x}+\frac{2x^2-1}{x^2} }$

$\displaystyle{v'=\frac{4x^2lnx+(4x+3)x+2x^2-1}{x^2} }$

$\displaystyle{v'=\frac{4x^2lnx+6x^2+3x-1}{x^2} }$

Maka :

$\displaystyle{\frac{d^2y}{dx^2}=u'v+uv' }$

$\displaystyle{\frac{d^2y}{dx^2}=3x^{2x^2+3x+1}\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ]\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ] }$

$\displaystyle{.~~~~~~~~+3x^{2x^2+3x+1}\left [ \frac{4x^2lnx+6x^2+3x-1}{x^2} \right ] }$

$\displaystyle{\frac{d^2y}{dx^2}=3x^{2x^2+3x+1}\left [ (4x+3)lnx+\frac{2x^2+3x+1}{x} \right ]^2+3x^{2x^2+3x+1}\left [ \frac{4x^2lnx+6x^2+3x-1}{x^2} \right ] }$