Jawaban:

x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku

x4 – (p+q+r+s)x3 + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x2 – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.

Ini artinya

p + q + r + s = 4,

pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,

pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan

pqrs = – 12.

Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

x4

x3

x2

x1

x0

koefisien

1

– 4

– 1

16

– 12

1

1

– 3

– 4

12

h(x) =

1

– 3

– 4

12

0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x3 – 3x2 – 4x + 12.

Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.

x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = (x – 1)(x3 – 3x2 – 4x + 12)

mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

x3

x2

x1

x0

koefisien

1

– 3

– 4

12

2

2

– 2

– 12

h(x) =

1

– 1

– 6

0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x2– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.

x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x2– x – 6).

Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.

x2– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.

x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.

Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x1 = – 2, x2 = 1, x3 = 2, dan x4 = 3.