Mohon bantuannya kak :

Berikut ini adalah pertanyaan dari FiorellaBellatrix pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Hasil~dari~\lim_{x \to 1} [\frac{1}{x-1}-\frac{x}{lnx}]~adalah-\frac{3}{2}$

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty}$ maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Diengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0$

DIKETAHUI

$\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x-1}-\frac{x}{lnx})$

DITANYA

Tentukan nilai limit dari fungsi tersebut

PENYELESAIAN

$\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x-1}-\frac{x}{lnx})\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{lnx-x(x-1)}{(x-1)lnx}~~~~~~~\to~substitusi~x=0\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{ln1-(1)(1-1)}{(1-1)ln1}\\\\=\frac{0}{0}\\$

Karena hasil substitusi langsung bernilai $\frac{0}{0}$ maka kita gunakan l'hospital

$\\\lim_{x \to 1} [\frac{1}{x-1}-\frac{x}{lnx}]\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{lnx-x(x-1)}{(x-1)lnx}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[lnx-x(x-1)]}{\frac{d}{dx}[(x-1)lnx]}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[lnx-x^2+x]}{\frac{d}{dx}[xlnx-lnx]}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}-2x+1}{lnx+1-\frac{1}{x}}\\\\=\frac{\frac{1}{1}-2(1)+1}{ln1+1-\frac{1}{1}}\\\\=\frac{1-2+1}{0+1-1}\\\\=\frac{0}{0}$

Karena hasilnya masih $\frac{0}{0}$ maka kita gunakan lagi l'hospital

$\\\lim_{x \to 1} [\frac{1}{x-1}-\frac{x}{lnx}]\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{lnx-x(x-1)}{(x-1)lnx}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[lnx-x(x-1)]}{\frac{d}{dx}[(x-1)lnx]}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[lnx-x^2+x]}{\frac{d}{dx}[xlnx-lnx]}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}-2x+1}{lnx+1-\frac{1}{x}}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}[\frac{1}{x}-2x+1]}{\frac{d}{dx}[lnx+1-\frac{1}{x}]}\\\\=\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{1}{x^2}-2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\$