1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. ∫ ( tan⁵ x sec⁻² x ) dx =

Berikut ini adalah pertanyaan dari WillyJember pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1. ∫ ( tan⁵ x sec⁻² x ) dx = .........2. ∫ ( tan^[-½] x sec⁴ x ) dx = ......


NO SPAM PLEASE !!!
1. ∫ ( tan⁵ x sec⁻² x ) dx = .........2. ∫ ( tan^[-½] x sec⁴ x ) dx = ......NO SPAM PLEASE !!!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1.~Hasil~dari~\int {tan^5x.sec^{-2}x} \, dx~adalah~\frac{1}{2}sec^2x-2ln|secx|-\frac{1}{2sec^2x}+C\\\\2.~Hasil~dari~\int {tan^{-\frac{1}{2}}x.sec^4x} \, dx~adalah~2tan^{\frac{1}{2}}x+\frac{2}{5}tan^{\frac{5}{2}}x+C

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

\int {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C~~~~~,dengan~C=konstanta\\\\\int {kf(x)} \, dx=k\int {f(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)+g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx+\int {g(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)-g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx-\int {g(x)} \, dx

Untuk rumus integral fungsi trigonometri adalah sebagai berikut :

\int {sinx} \, dx=-cosx+C\\\\\int {cosx} \, dx=sinx+C\\\\\int {tanx} \, dx=-ln|cosx|+C\\\\\int {sec^2x} \, dx=tanx+C

.

SOAL 1

DIKETAHUI

\int {tan^5x.sec^{-2}x} \, dx=

.

DITANYA

Tentukan hasil integral tak tentu fungsi tersebut.

.

PENYELESAIAN

Kita gunakan metode substitusi.

Misal:\\\\u=secx~\to~du=tanx.secxdx\\\\Maka:\\\\\int {tan^5x.sec^{-2}x} \, dx\\\\=\int {tan^5x.u^{-2}} \, \frac{du}{tanx.secx}\\\\=\int {tan^4x.u^{-2}} \, \frac{du}{u}\\\\=\int {\frac{(sec^2x-1)^2}{u^3}} \, du\\\\=\int {\frac{(u^2-1)^2}{u^3}} \, du\\\\=\int {\frac{u^4-2u^2+1}{u^3}} \, du\\\\=\int {u-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^3}} \, du\\\\=\frac{1}{2}u^2-2ln|u|-\frac{1}{2u^2}+C~~~~~~~~...substitusi~kembali~u=secx\\\\=\frac{1}{2}sec^2x-2ln|secx|-\frac{1}{2sec^2x}+C\\

.

KESIMPULAN

Hasil~dari~\int {tan^5x.sec^{-2}x} \, dx~adalah~\frac{1}{2}sec^2x-2ln|secx|-\frac{1}{2sec^2x}+C

.

.

.

SOAL 2

DIKETAHUI

\int {tan^{-\frac{1}{2}}x.sec^4x} \, dx

.

DITANYA

Tentukan hasil integral tak tentu fungsi tersebut.

.

PENYELESAIAN

Kita gunakan metode substitusi.

Misal:\\\\u=tan^{-\frac{1}{2}}x~\to~du=-\frac{1}{2}tan^{-\frac{3}{2}}x.sec^2xdx\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~dx=\frac{-2}{tan^{-\frac{3}{2}}x.sec^2x}du\\ \\Maka:\\\\\int {tan^{-\frac{1}{2}}x.sec^4x} \, dx\\\\=\int {u.sec^4x} \, \frac{-2du}{tan^{-\frac{3}{2}}x.sec^2x}\\\\=-2\int {u.sec^2x} \, \frac{du}{u^3}\\\\=-2\int {\frac{1+tan^2x}{u^2} } \, du\\\\=-2\int {\frac{1}{u^2}+\frac{1}{tan^{-2}x.u^2} } \, du\\\\=-2\int {\frac{1}{u^2}+\frac{1}{u^4.u^2}} \, du\\

\\=-2\int {\frac{1}{u^2}+\frac{1}{u^6}} \, du\\\\=-2\int {u^{-2}+u^{-6}} \, du\\\\=-2(-u^{-1}-\frac{1}{5}u^{-5})+C\\\\=2u^{-1}+\frac{2}{5}u^{-5}+C~~~~~~~~...substitusi~kembali~u=tan^{-\frac{1}{2}}x\\\\=2(tan^{-\frac{1}{2}}x)^{-1}+\frac{2}{5}(tan^{-\frac{1}{2}}x)^{-5}+C\\\\=2tan^{\frac{1}{2}}x+\frac{2}{5}tan^{\frac{5}{2}}x+C\\

.

KESIMPULAN

Hasil~dari~\int {tan^{-\frac{1}{2}}x.sec^4x} \, dx~adalah~2tan^{\frac{1}{2}}x+\frac{2}{5}tan^{\frac{5}{2}}x+C

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Integral trigonometri : yomemimo.com/tugas/29436105
  2. Integral trigonometri : yomemimo.com/tugas/29102615
  3. Integral parsial : yomemimo.com/tugas/28945863

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, tak tentu, antiturunan, substitusi, trigonometri.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 27 Sep 20
<< Previous Post
Next Post >>