Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif

Berikut ini adalah pertanyaan dari syaqillao2155 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama = n².

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jumlah n bilangan ganjil positif pertama = n² terbukti benar.

Pembahasan

Induksi Matematika

Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah:
Jumlah n bilangan ganjil positif pertama = n².

Sebelum melakukan pembuktian, terlebih dahulu kita tentukan rumus suku ke-n deret bilangan ganjil positif.

Sebuah bilangan bulat positif $U_n$ merupakan bilangan ganjil jika dan hanya jika $U_n = 2n - 1$ , dengan $n$ bilangan asli (1, 2, 3, ...).

Langkah-langkah Pembuktian

Langkah Pertama: Basis Induksi

Untuk $n = 1$ :

$U_1 = 2-1=1=1^2=n^2$

⇒ terbukti benar

Langkah Kedua: Asumsi

Andaikan pernyataan di atas benar untuk $n=k$ , yaitu jumlah $k$ bilangan ganjil positif pertama adalah $k^2$ , atau $S_k=k^2$ , maka harus dibuktikan pula bahwa jumlah $(k+1)$ bilangan ganjil positif pertama adalah $(k+1)^2$ , atau $S_{k+1)=(k+1)^2$ .

Langkah Ketiga: Pembuktian

Cara 1: Dengan rumus deret aritmetika

$\begin{aligned}S_{k+1}&=\frac{k+1}{2}\left(U_1+U_{k+1}\right)\\&=\frac{k+1}{2}\left[1+2(k+1)-1\right]\\&=(k+1)\left(\frac{1+2(k+1)-1}{2}\right)\\&=(k+1)\left(\frac{\cancel{2}(k+1)}{\cancel{2}}\right)\\&=(k+1)(k+1)\\S_{k+1}&=(k+1)^2\\\end{aligned}$

$\blacksquare$

⇒ terbukti benar

Cara 2: Dengan notasi sigma

$\begin{aligned}S_{k+1}&=\sum_{n=1}^{k+1}U_n\\&=\sum_{n=1}^{k+1}(2n-1)\\&=\sum_{n=1}^{k+1}2n-\sum_{n=1}^{k+1}1\\&=2\cdot\sum_{n=1}^{k+1}n-(k+1)\\&=\cancel{2}\cdot\frac{k+1}{\cancel{2}}\cdot(1+k+1)-(k+1)\\&=(k+1)(2+k)-(k+1)(1)\\&\quad...\ {\sf sifat\ asosiatif}\\&=(k+1)(2+k-1)\\&=(k+1)(k+1)\\\end{aligned}$

$\blacksquare$

⇒ terbukti benar

KESIMPULAN

∴ Karena telah terbukti benar untuk $n=1$ , dan dengan asumsi benar untuk $n=k$ telah dapat dibuktikan benar pula untuk $n=k+1$ , maka pernyataan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama = n² benar untuk n bilangan asli.