3. a) Syarat u dikatakan sebagai subruang dari v adalah:

• U ≠ { }.
• U ⊆ V.
• Jika vektor u, vektor v  ∈ U, maka u + v ∈ U.
• Jika vektor u ∈ U dan k ∈ R, maka k ∈ U.

b) Pembuktian bahwa u merupakan subruang M₂ₓ₂ adalah sebagai berikut:

1) 0 = 0 0 ∈ U maka U ≠ { }.

         0 0

2) Jelas bahwa U ⊆ V.

3) Ambil sembarang matriks A, B ∈ U maka perhatikan bahwa:

   A + B =  0 a₁  +  0 b₁  =      0        a₁ + b₁

                 a₂ 0     b₂ 0      a₂ + b₂       0

   Hal diatas menunjukkan bahwa A + B ∈ U.

4) Ambil sembarang matriks A ∈ U dan  ∈ riil, maka

       A =  0   a₁  ∈  U

               a₂  0

    Hal diatas menunjukkan bahwa A ∈ U.

Berdasarkan pembuktian diatas, maka u merupakan subruang dari M₂ₓ₂

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

a)  V adalah ruang vektor.

    U adalah subhimpunan dari V.

b)  U adalah operasi standar dari subruang M₂ₓ₂.

    U adalah matriks berukuran 2x2 dengan diagonal utamanya 0.

Ditanya:

a)  Syarat U dikatakan sebagai subruang dari V?

b)  Buktikan jika U adalah subruang dari M₂ₓ₂?

Jawab:

a)  Subruang vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor V yang merupakan ruang vektor dibawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang terdapat pada V.

Contoh: V adalah ruang vektor dan U adalah himpunan bagian (subhimpunan) dari V. Himpunan U dapat disebut subruang dari V, jika U merupakan ruang vektor dibawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang terdapat pada V.

Dengan kata lain, U dikatakan sebagai subruang dari V jika:

• U ≠ { }.
• U ⊆ V.
• Jika vektor u, vektor v  ∈ U, maka u + v ∈ U.
• Jika vektor u ∈ U dan k ∈ R, maka k ∈ U.

b) Berdasarkan syarat mengenai subruang pada soal a, maka kita dapat membuktikan bahwa U merupakan subruang M₂ₓ₂ adalah sebagai berikut:

1) 0 = 0 0 ∈ U maka U ≠ { }.

         0 0

2) Jelas bahwa U ⊆ V.

3) Ambil sembarang matriks A, B ∈ U maka perhatikan bahwa:

   A + B =  0 a₁  +  0 b₁  =      0        a₁ + b₁

                 a₂ 0     b₂ 0      a₂ + b₂       0

   Hal diatas menunjukkan bahwa A + B ∈ U.

4) Ambil sembarang matriks A ∈ U dan  ∈ riil, maka

       A =  0   a₁  ∈  U

               a₂  0

    Hal diatas menunjukkan bahwa A ∈ U.

Berdasarkan pembuktian diatas, maka u merupakan subruang dari M₂ₓ₂

Pelajari Lebih Lanjut:

Materi tentang himpunan P merupakan ruang bagian di R³ yomemimo.com/tugas/51456676

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1